Variance Gamma do zero
1/5O próprio tempo é aleatório
O Variance Gamma parte de uma ideia radical: em vez de adicionar saltos à difusão, tornar o próprio tempo estocástico. O movimento browniano corre em um relógio aleatório.
O movimento browniano comum usa o tempo do calendário: um segundo por segundo, implacavelmente uniforme. O VG diz que o mercado tem seu próprio relógio interno — um processo gama G(t) — que às vezes dispara à frente e às vezes se arrasta. Quando o relógio corre rápido, o movimento browniano ganha mais “tempo efetivo” e faz movimentos grandes. Quando o relógio fica em marcha lenta, o preço mal se mexe.
O resultado: caudas gordas surgem naturalmente da aleatoriedade do relógio, sem especificar explicitamente uma distribuição de tamanho de saltos. Períodos de relógio rápido criam aglomerados de movimentos grandes. Períodos lentos criam uma calmaria estranha. Isso corresponde ao que livros de ofertas rasos de cripto realmente parecem — longos trechos de nada e, então, explosões súbitas de atividade.
G(t) — processo gama com taxa média 1 e taxa de variância ν. Este é o relógio aleatório.
θ — drift dentro do relógio (cria o skew).
σ — vol de difusão dentro do relógio.
Abaixo, o painel superior mostra o processo gama G(t) — o relógio aleatório. A linha tracejada é o tempo do calendário (a diagonal reta). Quando G(t) salta acima da diagonal, o tempo está correndo rápido. O painel inferior mostra o processo VG resultante — o movimento browniano avaliado no tempo aleatório G(t).
Aumente ν para tornar o relógio mais errático. Observe como o processo VG fica mais selvagem — movimentos maiores, mais aglomeração. Esse é o mecanismo das caudas gordas.
Pense em um filme com velocidade de reprodução variável. Algumas cenas passam em câmera lenta (mercado calmo). Outras em avanço rápido (venda em pânico, cascatas de liquidação). O filme subjacente é o movimento browniano comum. O controle de velocidade é o processo gama. O que a plateia vê — o processo VG — traz embutido todo o drama das mudanças de velocidade.
Os três parâmetros
O VG tem a interpretação de parâmetros mais limpa de qualquer modelo de smile. Cada parâmetro corresponde a exatamente um momento estatístico. Sem redundância, sem dores de cabeça com correlações.
σ (sigma) — vol de difusão. A volatilidade do movimento browniano dentro do relógio aleatório. Controla o nível geral do smile. Um σ maior eleva tudo. É o análogo da vol de Black-Scholes.
θ (theta) — drift no MB subordinado. Controla o skew. Se θ < 0, o processo deriva para baixo dentro do relógio aleatório e o smile se inclina — asa das puts mais íngreme que a asa das calls. Se θ = 0, o smile é simétrico.
ν (nu) — variância do tempo gama. Controla o excesso de curtose (espessura das caudas). Um ν maior torna o relógio mais aleatório, o que cria caudas mais gordas e asas mais íngremes dos dois lados. Este é o parâmetro que separa o VG de Black-Scholes.
Três experimentos:
1. Set θ = 0, ν = 0.01. Smile quase plano — próximo de Black-Scholes. O relógio é quase determinístico.
2. Set θ = −0.15, ν = 0.20. Skew negativo com curtose moderada. O formato clássico do smile de cripto.
3. Set θ = 0, ν = 0.50. Simétrico, mas com curtose extrema. As duas asas disparam para cima. “Regime de cisne negro.”
σ → variância (2º momento). θ → assimetria (3º momento). ν → excesso de curtose (4º momento). Esta é a separação mais limpa do formato do smile em qualquer modelo de saltos ou de vol estocástica. Heston tem 5 parâmetros com correlações entre eles. O VG tem 3 controles ortogonais.
Na verdade é um processo de saltos puros
Apesar de parecer um movimento browniano com mudança de tempo (suave + esticado), as trajetórias do VG são tecnicamente de salto puro. Todo movimento é um salto. Não há componente de difusão contínua no tempo do calendário.
Isso é filosoficamente diferente de Merton. Em Merton, o preço se move suavemente na maior parte do tempo (difusão), com grandes saltos ocasionais. No VG, todo movimento é descontínuo. O processo tem atividade infinita (infinitos saltos em qualquer intervalo), mas variação finita (o tamanho total dos saltos é limitado).
A maioria desses saltos é minúscula. Alguns são grandes. No limite de muitos saltos minúsculos, a trajetória parece quase contínua — é bem aproximada por uma curva suave. Mas dê zoom o suficiente e cada movimento é tecnicamente um salto. Não há dois preços adjacentes conectados por um caminho contínuo.
O painel esquerdo mostra uma trajetória VG desenhada como função escada — cada passo de tempo é um salto distinto. O painel direito mostra uma trajetória de Merton com difusão suave entre grandes saltos raros (barras vermelhas). Clique em Regenerar e compare:
VG: pequenos saltos constantes, ocasionalmente grandes. Nenhum trecho suave. A trajetória oscila em toda parte.
Merton: longos trechos suaves interrompidos por saltos verticais súbitos. Dois regimes claramente distintos (calma vs choque).
Em um mundo de salto puro, o hedge de delta é imperfeito por construção — você não pode negociar continuamente porque o próprio preço é descontínuo. Isso é, na verdade, mais honesto que Merton, que afirma que você pode fazer hedge perfeito da parte de difusão e que apenas os saltos raros não são hedgeáveis. Em livros de ofertas rasos de cripto, cada execução é efetivamente um salto. O VG reconhece essa realidade.
A função característica
O VG tem uma função característica limpa e em forma fechada. É isso que torna a precificação via Fourier prática — você pode precificar opções europeias de forma rápida e exata sem Monte Carlo.
σ entra via o termo u² (contribuição de variância).
θ entra via o termo iu (skew via parte imaginária).
ν entra via o expoente −T/ν e na base (curtose).
When ν → 0: the exponent → −∞, e a FC converge para a FC lognormal de BS. O VG contém BS como caso limite.
O fluxo de precificação: pegue esta FC, insira-a na fórmula de Carr-Madan (1999) ou no método COS e aplique uma Transformada Rápida de Fourier. Você obtém preços de opções em todos os strikes de uma só vez — sem cálculo por strike, sem ruído de simulação.
O expoente −T/ν é negativo e fica mais negativo à medida que T cresce. Isso significa que a FC decai mais rápido para vencimentos mais longos, o que corresponde ao smile do VG se achatando com o tempo. A aleatoriedade do relógio se dilui em horizontes longos — um efeito natural de estrutura a termo.
VG na prática
O VG não é o padrão da indústria — Bates (Heston + saltos) domina as mesas de ações e cripto. Mas a ideia de subordinação do VG aparece em todo lugar, e o modelo tem nichos específicos.
Derivativos de crédito: O VG era originalmente popular na modelagem de crédito. A inadimplência é um evento de salto. A natureza de saltos puros do VG lida de forma limpa com payoffs descontínuos. Madan, Carr e Chang (1998) introduziram o VG em parte com o crédito em mente.
Exóticos de ações com requisitos simples de smile: Quando você precisa de um ajuste de smile com 3 parâmetros e interpretação clara em termos de momentos, o VG é difícil de superar. A calibração é rápida porque cada parâmetro tem um efeito inequívoco.
Cripto em pares ilíquidos: pares de cripto ilíquidos não se difundem suavemente — eles saltam de um preço para outro conforme as ordens são preenchidas. O caráter de saltos puros do VG é uma descrição mais honesta dessa ação de preço do que qualquer modelo de difusão.
A ideia de subordinação: o conceito de substituir o tempo do calendário por um relógio aleatório é fundamental. Aparece em relógios estocásticos, modelos de tempo de negócios, modelos baseados em atividade e no CGMY (uma generalização do VG). Mesmo que você nunca precifique uma opção VG, entender mudanças de tempo torna todos os outros modelos mais claros.
Black-Scholes: smile plano. Trajetórias contínuas. 1 parâmetro.
Merton: smile a partir de grandes saltos raros. Difusão suave + saltos de Poisson. 4 parâmetros.
Kou: smile a partir de saltos assimétricos. Controle independente das asas. 5 parâmetros.
Variance Gamma: smile a partir de um relógio aleatório. Salto puro, sem difusão. 3 parâmetros, um por momento.
Heston: smile a partir de vol estocástica. Trajetórias contínuas. 5 parâmetros.
Bates: Heston + saltos de Merton. O cavalo de batalha. 8 parâmetros.
Para onde ir em seguida:
Salto-Difusão de Merton — difusão + grandes saltos raros
Salto-Difusão de Kou — saltos assimétricos com asas independentes
Modelo de Heston — vol estocástica, a outra abordagem para smiles
Modelo de Bates — Heston + saltos: o cavalo de batalha da indústria