Vanna-Volga do zero
1/5Três opções líquidas precificam tudo
O Vanna-Volga usa exatamente três cotações de mercado para construir um smile inteiro. A put de 25Δ, o straddle ATM e a call de 25Δ -- esse é todo o input. Todo o resto é derivado.
Nos mercados de FX, os dealers não cotam preços de opções por strike. Eles cotam três números:
ATM vol (σATM). A volatilidade do straddle no dinheiro (ATM). Isso define o nível geral do smile.
25Δ risk reversal (RR). A diferença entre a vol da call de 25 delta e a vol da put de 25 delta. Isso captura o skew -- o quanto o smile se inclina.
25Δ butterfly (BF). A média das vols da put e da call de 25 delta menos a vol ATM. Isso captura a curvatura -- o quanto as duas asas se elevam acima do ATM.
A partir desses três números, você recupera as vols individuais:
O método Vanna-Volga pega esses três pontos de referência líquidos e constrói um smile completo perguntando: qual é a forma mais barata de fazer hedge do risco de smile de qualquer opção-alvo usando esses três instrumentos?
Pense em ATM, RR e BF como três botões de uma mesa de som. ATM é o volume master. RR é o controle de balanço (esquerda vs direita). BF é o reforço de volume (dos dois lados). Três botões, um smile.
O que são vanna e volga?
Vanna e volga são as duas gregas de segunda ordem que o Black-Scholes finge que não existem. Elas medem a sensibilidade ao risco de smile -- o efeito cruzado entre spot e vol (vanna) e a convexidade em vol (volga).
Vanna = ∂²V / ∂S∂σ. É a sensibilidade do delta a mudanças na vol ou, equivalentemente, a sensibilidade do vega a mudanças no spot. Quando a vol se move, o delta muda. Quando o spot se move, o vega muda. Ambos os efeitos são o vanna.
O vanna é máximo perto do ATM e é antissimétrico em torno do forward. Para puts (asa esquerda), o vanna é positivo: quando a vol sobe, o delta da put fica mais negativo (mais dentro do dinheiro no espaço de probabilidades). Para calls (asa direita), o vanna é negativo.
Volga = ∂²V / ∂σ². É o gama da vol -- a convexidade do preço da opção em relação à vol. Uma opção com volga positivo se beneficia de a vol se mover em qualquer direção.
O volga é máximo nas asas e é simétrico em torno do forward. Puts bem OTM e calls bem OTM têm volga grande e positivo. Opções ATM têm volga próximo de zero.
O gráfico acima mostra os dois perfis ao longo dos strikes. O Black-Scholes assume um smile plano, então precifica a exposição a vanna e volga a custo zero. Mas, em um mercado real com smile, manter exposição a vanna e volga não sai de graça -- tem um custo, e esse custo é exatamente o ajuste de smile que o Vanna-Volga calcula.
Delta e gama são efeitos de primeira ordem que o Black-Scholes trata. O vega é uma sensibilidade de primeira ordem à vol que o BS também trata (mesmo assumindo vol constante, o modelo ainda tem um vega). Os efeitos de vol de segunda ordem -- como o delta muda com a vol (vanna) e como o vega muda com a vol (volga) -- são exatamente o que o smile codifica. Um smile nada mais é do que a precificação, pelo mercado, do risco de vanna e volga.
O argumento de replicação
Aqui está a ideia central: monte um portfólio com as três opções de referência líquidas que case o vanna e o volga da opção-alvo. O custo desse portfólio de hedge -- acima do seu valor de Black-Scholes -- é a correção de smile.
Comece com uma opção-alvo em algum strike arbitrário K. Calcule seu vanna e volga sob Black-Scholes (usando a vol ATM). Agora encontre pesos (x₁, x₂, x₃) nas três opções de referência tais que:
Com os pesos em mãos, o preço VV é:
Arraste o strike-alvo no widget acima. Observe como os pesos de replicação mudam:
Alvo perto da put de 25Δ: Quase todo o peso vai para a referência da put. As referências ATM e da call contribuem pouco.
Alvo perto do ATM: A referência ATM domina. A correção é pequena porque o BS está quase correto no ATM.
Alvo entre as referências: Os pesos interpolam suavemente. O smile em qualquer strike intermediário é uma combinação ponderada dos três pontos de referência.
A fórmula
Quando você calcula os pesos de replicação explicitamente, a correção VV se divide de forma limpa em dois termos: uma correção de vanna que cria skew e uma correção de volga que cria curvatura.
Termo de volga: proporcional ao butterfly. Simétrico -- soma igualmente nas duas asas.
Essa decomposição é a razão de o método se chamar Vanna-Volga. Toda a correção de smile é explicada por dois efeitos:
A correção de vanna é antissimétrica em torno do ATM. Ela é guiada pela cotação do risk reversal. Quando o mercado cota um RR bem negativo (puts mais caras que as calls), a correção de vanna inclina o smile para a esquerda. Para puts bem OTM, a correção é máxima e positiva (adiciona prêmio). Para calls bem OTM, é negativa (remove prêmio).
A correção de volga é simétrica em torno do ATM. Ela é guiada pela cotação do butterfly. Quando o mercado cota um BF grande, a correção de volga eleva as duas asas. O ATM não é afetado (o volga é quase zero ali). Quanto mais fundo nas asas, maior a correção.
O gráfico de barras empilhadas acima mostra as duas correções ao longo dos strikes. Note:
As barras azuis (vanna) são negativas à esquerda e positivas à direita -- esse é o componente de skew.
As barras laranja (volga) são positivas em toda a extensão das asas -- esse é o componente de curvatura.
A linha verde é a correção total. No lado das puts, vanna e volga se reforçam (ambos adicionam prêmio). No lado das calls, eles se cancelam parcialmente (o vanna subtrai, o volga adiciona). Por isso as asas das puts costumam ser mais íngremes que as das calls.
As mesas de FX adoram, as de ações não
O Vanna-Volga é o modelo de smile dominante em câmbio porque o mercado de FX literalmente cota ATM, RR e BF. Os inputs do modelo são a língua nativa do mercado. Em ações e cripto, o mercado cota strikes diretamente, e a premissa de três pontos do VV é rígida demais.
Por que o FX adora: O mercado interbancário de opções de FX padronizou convenções de cotação que mapeiam diretamente para os inputs do Vanna-Volga. Um dealer vê ATM = 8.2, RR = -1.3, BF = 0.4 e imediatamente tem as três vols necessárias para o VV. Sem etapa de calibração. Sem otimizador. Só álgebra.
Para vanillas de FX em deltas padrão, o VV é rápido, preciso e livre de arbitragem. Para exóticas de primeira geração (one-touch, double no-touch), o VV dá preços rápidos e aproximados notavelmente próximos das respostas de modelos completos.
Por que ações/cripto não: Opções listadas de ações e de cripto oferecem uma grade completa de preços em muitos strikes e vencimentos. Você tem muito mais do que três pontos de dados. Ajustar um modelo de três parâmetros a trinta strikes joga informação fora.
Pior: o smile VV não é flexível o suficiente para reproduzir os formatos reais vistos nos mercados de ações e cripto. Skews íngremes de curto prazo, convexidade das asas que varia com o vencimento, estrutura a termo do butterfly -- nada disso é capturado por três números.
Nesses mercados, SVI, SSVI, ou SLV são escolhas melhores porque conseguem absorver toda a riqueza da superfície observada.
Mesmo em mesas que não usam o VV para precificação em produção, ele é valioso como modelo mental. "Esta opção custa mais que o BS por causa de vanna e volga" é uma explicação completa de por que os smiles existem. A decomposição em skew (vanna) e curvatura (volga) ajuda os traders a raciocinar sobre o que move o preço de qualquer opção -- mesmo quando a precificação real usa um modelo mais sofisticado.
Extensões: O método VV básico usa referências de 25 delta. Algumas mesas o estendem para cinco pontos (adicionando put e call de 10 delta) para capturar melhor o comportamento das asas. Outras usam um "VV de segunda ordem" que inclui gregas de ordem superior. Mas, nesse ponto, você está construindo um modelo mais complicado e seria melhor usar logo o SVI.
Em cripto: O framework VV é usado ocasionalmente para contas rápidas de cabeça -- "quanto esta put OTM deveria custar dados o RR e o BF do mercado?" -- mas não é um modelo de produção. As superfícies de vol de cripto são ruidosas e íngremes demais para interpolação de três pontos. O valor é conceitual, não operacional.
Para onde ir agora:
Black-Scholes -- o modelo de base que o VV ajusta
Referência de Gregas -- tratamento completo de vanna, volga e outras sensibilidades de segunda ordem
Parametrização SVI -- a alternativa baseada em strikes para smiles de ações/cripto
Vol Local Estocástica -- o modelo de produção para precificação de exóticas