SVI do zero
1/5O que é SVI?
SVI significa Stochastic Volatility Inspired. É uma fórmula de 5 parâmetros que descreve o formato do smile de volatilidade em um único vencimento.
A maioria dos modelos de smile trabalha no espaço da volatilidade implícita. O SVI é diferente: ele parametriza a variância implícita total como função do log-moneyness. Pode parecer um desvio, mas isso torna as restrições de arbitragem trivialmente simples.
A fórmula é:
Mova os controles abaixo para ver como a curva de variância total muda. O eixo x é o log-moneyness (negativo = puts OTM, positivo = calls OTM). O eixo y é a variância implícita total.
O modelo Black-Scholes usa a volatilidade implícita (σ_imp). Mas a vol depende tanto do formato do smile quanto do tempo até o vencimento. A variância total w = σ_imp² · T fatora o tempo, deixando uma quantidade que cresce monotonicamente com a maturidade. Essa monotonicidade é exatamente o que você precisa para garantir a ausência de arbitragem de calendário.
Os 5 parâmetros
Cada parâmetro controla um aspecto geométrico do smile. Percorra um de cada vez e observe o que muda.
A linha tracejada é a referência (um smile típico com skew de put). A linha colorida sólida mostra o que acontece quando você move o parâmetro destacado. Todo o resto permanece fixo.
Comportamento das asas: longe do ATM, o smile se aproxima de retas. A inclinação da asa das puts é b(1 − ρ) e a da asa das calls é b(1 + ρ). Com o skew típico de put (ρ < 0), a asa esquerda é mais íngreme.
Da variância para a vol
O SVI fornece a variância total w(k). O smile de IV familiar está a apenas uma raiz quadrada de distância.
Abaixo, ambas as curvas são geradas a partir dos mesmos parâmetros SVI. O painel esquerdo mostra a variância total (o espaço em que o SVI trabalha). O painel direito mostra o smile de volatilidade implícita (o espaço em que os traders pensam). Mova os controles e veja os dois se atualizarem simultaneamente.
Note que a curva de variância é mais suave e mais em “forma de V” do que a curva de vol. A raiz quadrada comprime valores grandes e estica valores pequenos, fazendo o smile de vol parecer mais arredondado.
Por que isso importa na prática: ao ajustar o SVI, você otimiza no espaço da variância (onde a fórmula vive), mas avalia a qualidade do ajuste olhando os resíduos de IV (onde os traders cotam).
Restrições de não arbitragem
Nem todas as combinações de parâmetros SVI são válidas. Algumas criam smiles que violam condições de não arbitragem. Use o widget abaixo para encontrar a fronteira.
Há três restrições principais. Quando qualquer uma é violada, existe uma oportunidade de lucro sem risco — o que significa que o smile não pode ser o verdadeiro preço de mercado do risco.
Experimente as predefinições abaixo e depois mova os controles para ver as fronteiras. A curva fica vermelha quando qualquer restrição é violada.
Calibração
Dadas as volatilidades implícitas observadas no mercado, encontre os 5 parâmetros SVI que melhor as reproduzem. Tente fazer manualmente.
Os círculos laranja são cotações de mercado sintéticas — um smile realista de BTC a 30 DTE. A curva verde é o ajuste SVI. As linhas verticais mostram o resíduo (erro) em cada ponto.
Ajuste os controles para minimizar o RMSE. Clique em “Mostrar melhor ajuste” para ver um conjunto de parâmetros próximo do ótimo.
Na prática: um otimizador numérico (Levenberg-Marquardt ou SLSQP) faz isso em menos de 10 ms por vencimento. O otimizador minimiza a soma ponderada dos quadrados dos resíduos enquanto impõe as restrições de arbitragem da Seção 4.
A inicialização importa: um chute inicial ruim pode prender o otimizador em um mínimo local. Abordagem comum: definir a a partir da variância ATM, b a partir da inclinação observada das asas, ρ ≈ −0.3, m ≈ 0, σ ≈ 0.1.
Para onde ir em seguida:
Página de referência do SVI — tabela completa de parâmetros, detalhes de ajuste, variantes
ORC Wing (Jump-Wing) — SVI reparametrizado para traders
SSVI — estendendo o SVI para a superfície completa