Volatilidade local estocástica do zero
1/5A vol local acerta os preços, mas erra a dinâmica
O modelo de volatilidade local de Dupire faz algo notável: ele se calibra perfeitamente a cada preço de opção vanilla no mercado, simultaneamente. Erro de calibração zero. O problema é o que acontece em seguida.
A vol local atribui uma volatilidade única σ(S, t) a cada nível de spot e a cada instante no tempo. Dada a superfície observada de preços de vanillas, existe exatamente uma função de vol local que reproduz todos eles. A construção é determinística -- sem otimização, sem erro residual.
Então o que está errado? A dinâmica. A vol local prevê como o smile vai evoluir quando o spot se move, e erra feio essa previsão.
Quando o spot cai 5%, a vol local diz que o smile deveria achatar na asa esquerda. O modelo lê um spot mais baixo e consulta uma fatia diferente de σloc, que por acaso é mais plana ali. Mas em mercados reais, ocorre o oposto: uma queda de 5% faz o smile se acentuar porque a vol realizada está subindo e a demanda por proteção contra queda está aumentando.
A volatilidade local é uma fotografia perfeita do smile de hoje. Mas fotografias não se movem. Quando o spot muda, a volatilidade local prevê o novo smile consultando uma coluna diferente na mesma tabela estática. O mercado, enquanto isso, já reprecificou a tabela inteira.
Isso importa para exóticas. Uma opção com barreira depende de como o smile fica quando o spot está perto da barreira -- não apenas de como ele está hoje. Se seu modelo prevê o smile futuro errado, ele precifica a barreira errado e faz o hedge errado.
A vol estocástica acerta a dinâmica, mas erra os preços
Heston, SABR e seus parentes tratam a volatilidade como uma variável aleatória com seu próprio processo estocástico. Isso produz uma evolução realista do smile: quando o spot cai, a volatilidade sobe e o smile se acentua. Mas o ajuste aos preços vanilla de hoje é aproximado, na melhor das hipóteses.
Um modelo como o Heston tem cinco parâmetros livres. Cinco números não conseguem, simultaneamente, reproduzir centenas de preços de opções observados em todos os strikes e vencimentos. O ajuste é sempre um compromisso -- razoável perto do ATM, progressivamente pior nas asas.
Você poderia adicionar mais parâmetros (Heston duplo, Bates com saltos), mas nunca fecha completamente a lacuna. Sempre existe algum resíduo de calibração. Para precificação de vanillas e market-making, esse resíduo é dinheiro deixado na mesa.
Os três painéis acima contam a história. Após uma queda de 5% no spot:
Vol local prevê que o smile achata -- errado.
Vol estocástica prevê que o smile se acentua -- correto, mas note que ele não correspondeu perfeitamente ao smile de hoje para começar.
SLV acerta os dois: parte de um ajuste perfeito hoje e evolui de forma realista.
Se você está cotando vanillas, a vol local vence -- ela as precifica exatamente. Se você se importa com como seu book se comporta quando o spot se move, a vol estocástica vence -- ela prevê gregas realistas. Para precificação de exóticas, você precisa dos dois. É aí que entra o SLV.
O SLV combina os dois
A vol local estocástica roda dois motores em paralelo. O componente de vol local cuida da calibração. O componente estocástico adiciona dinâmica realista. Uma razão de mistura α controla a combinação.
Second line: L segue sua própria difusão, guiada pela vol-of-vol ν.
Special cases: quando ν = 0, L é determinístico e você recupera a vol local pura. Quando σloc é constante, você recupera a vol estocástica pura. A razão de mistura α controla quanto da variância total vem de cada componente.
A intuição: σloc(S, t) é a função de Dupire que já calibra ao mercado. Multiplicar por um L estocástico perturba a dinâmica sem destruir a calibração -- desde que L seja calibrado para que a perturbação se anule na média. Essa calibração de L é exatamente o que a função de alavancagem faz.
A razão de mistura α (muitas vezes embutida no parâmetro de vol-of-vol) determina quanta aleatoriedade vai para L versus permanecer em σloc. Em um extremo (α = 0), toda a variância é explicada pela vol local e a dinâmica do smile é determinística. No outro extremo (α = 1), a vol local é plana e o processo estocástico guia tudo.
Arraste o controle acima. Observe o smile futuro previsto:
α = 0 (vol local pura): O smile futuro quase não se move em relação a hoje. A asa esquerda achata levemente. Essa é a patologia da vol local.
α = 1 (vol estocástica pura): O smile futuro se acentua dramaticamente. A vol salta em todos os pontos. Isso é realista, mas pode corrigir demais.
α = 0.5 (balanceado): Um meio-termo. O smile se acentua, mas moderadamente. É aqui que a maioria das calibrações em produção termina.
A função de alavancagem
L(S, t) é a cola da calibração. É calculada para que a volatilidade local esperada -- na média sobre todas as trajetórias estocásticas -- corresponda ao mercado. Quando a mistura está equilibrada, L fica próximo de 1 em todo lugar. Quando um componente domina, L precisa trabalhar mais.
Formalmente, L(S, t) é definida pela condição:
Na prática, L é calculada numericamente usando uma PDE forward (Fokker-Planck) ou um método de partículas (Monte Carlo com estimação de densidade). A PDE forward propaga a densidade conjunta de (S, L) para frente no tempo e extrai L em cada ponto da grade. O método de partículas simula muitas trajetórias, agrupa-as por nível de spot e resolve L dentro de cada grupo.
O insight principal: quando α está próximo de 0.5, L é próximo de 1 em toda parte porque ambos os componentes compartilham a carga de forma equilibrada. Quando α está próximo de 0 ou 1, L desenvolve estrutura -- picos nas asas, vales perto do ATM -- porque um componente está fazendo quase todo o trabalho e L precisa compensar.
O mapa de calor acima mostra L(S, t) ao longo de spot e tempo. Arraste o controle de mistura e observe:
Balanceado (α ≈ 0.5): Cor escura uniforme. L é aproximadamente 1 em todo lugar. Os dois componentes contribuem igualmente. Este é o ponto de operação ideal.
Dominado por vol local (α ≈ 0): L desenvolve manchas quentes (laranja/vermelho) nas asas. O componente estocástico tem pouca variância própria, então L precisa fazer trabalho pesado para reproduzir o mercado.
Dominado por vol estocástica (α ≈ 1): L desenvolve manchas frias (azul). O componente estocástico exagera em algumas regiões e L precisa puxá-lo de volta.
O padrão para precificação de exóticas
SLV é o que os grandes bancos realmente usam para barreiras, asiáticas e cliquets. É o padrão de produção porque é o único modelo que, ao mesmo tempo, calibra às vanillas e produz preços de exóticas defensáveis.
Barreiras. Uma opção knock-out morre quando o spot atinge a barreira. Seu valor depende criticamente de como o smile fica perto do nível da barreira. A vol local acerta o smile errado ali. A vol estocástica acerta a dinâmica, mas erra os preços iniciais. O SLV acerta os dois -- e o preço da barreira resultante pode diferir da vol local em vários por cento do nocional.
Asiáticas. Uma opção asiática calcula a média do spot ao longo de uma janela. Essa média atenua o efeito da dinâmica do smile, então a diferença entre SLV e vol local é menor aqui. Mas ainda não é zero, e mesas que operam nocionais grandes se importam.
Cliquets. Opções de início futuro que se resetam periodicamente. Elas são extremamente sensíveis ao smile futuro -- como o smile será em cada data de reset. A vantagem do SLV é maior aqui porque cliquets são essencialmente uma aposta na dinâmica do smile.
O SLV não é de graça. A função de alavancagem precisa ser recalculada sempre que os parâmetros de vol estocástica mudam, o que torna a calibração um processo iterativo: ajustar os parâmetros de vol estocástica, calcular L, verificar o ajuste às vanillas, ajustar, repetir. Esse loop externo é computacionalmente caro e introduz risco de modelo na escolha de α.
A escolha da razão de mistura é em si uma decisão de julgamento. Diferentes valores de α produzem preços exóticos diferentes enquanto correspondem às mesmas baunilhas. Os bancos normalmente definem α calibrando para negociações exóticas líquidas (barrier reversals em FX, por exemplo) ou por julgamento especializado sobre quanto a dinâmica do smile importa para seu book.
Risco de modelo. A razão de mistura é o parâmetro de risco de modelo mais importante na precificação de exóticas em produção. Duas mesas usando SLV com valores de α diferentes vão concordar em todas as vanillas, mas discordar nas barreiras. Isso não é um bug -- reflete incerteza genuína sobre como o smile vai evoluir.
Em cripto: o SLV é menos comum porque o mercado de exóticas é menor e a própria superfície de vanillas é ruidosa. A maioria das mesas de cripto usa SVI ou SSVI para o ajuste da superfície e vol local ou simulação direta para produtos dependentes da trajetória. À medida que o mercado de opções de cripto amadurece, o SLV se tornará mais relevante.
Para onde ir a seguir:
Local Volatility -- o modelo de Dupire em detalhe
Heston Model -- o motor de vol estocástica mais comum dentro do SLV
SABR Model -- vol estocástica sem reversão à média, popular em juros
Vanna-Volga -- uma construção de smile mais simples a partir de três cotações de mercado