SSVI do zero

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Seção 1

Do SVI ao SSVI

SVI ajusta um smile de volatilidade em um único vencimento. Ele faz isso bem -- cinco parâmetros, uma forma limpa. Mas uma superfície de volatilidade tem vários vencimentos empilhados. Ajustar cada fatia de forma independente cria um problema.

Quando você ajusta cada fatia com seus próprios parâmetros SVI, nada garante que a variância total aumente de um vencimento para o próximo em cada strike. Se não aumentar, você tem uma arbitragem de calendar spread -- uma operação de dinheiro grátis em que você vende a opção de vencimento curto e compra a de vencimento longo.

O SSVI resolve isso construindo toda a superfície a partir de uma única parametrização. Em vez de 5 parâmetros por fatia, a superfície inteira é definida por:

As duas peças-chave

θ(t) = variância total ATM no tempo t

φ(θ) = função de skew ATM (controla a inclinação do smile)

θ(t) é observada diretamente a partir dos preços das opções ATM. φ(θ) codifica como a forma do smile varia com a maturidade. Junto com um único parâmetro de skew ρ, eles definem a superfície inteira.

Analogia

Pense no SVI por fatia como dar a cada andar de um prédio seu próprio arquiteto. Cada andar pode ficar ótimo, mas as escadas entre os andares podem não se alinhar. O SSVI contrata um único arquiteto para o prédio inteiro -- os andares individuais ficam um pouco menos personalizados, mas tudo se conecta.

Seção 2

A parametrização SSVI

Uma fórmula. Três controles. Mova os sliders abaixo e veja o smile se remodelar.

Variância total do SSVI

w(k, θ) = θ/2 · (1 + ρφ(θ)k + √((φ(θ)k + ρ)² + (1 − ρ²)))

k é o log-moneyness (ln(K/F)). Em k=0, você está no dinheiro (ATM). k negativo são calls dentro do dinheiro (puts OTM).

Brinque com cada parâmetro para construir intuição sobre o que ele controla:

θ0.04

ρ-0.30

φ1.50

θ desloca o nível geral -- maior variância ATM significa que o smile inteiro sobe. ρ inclina o smile -- ρ negativo cria o skew de puts que os traders esperam. φ controla a largura das asas.

Seção 3

Arbitragem de calendar spread

O propósito central do SSVI: ausência de arbitragem de calendário por construção. Mas apenas se φ for escolhido corretamente.

Arbitragem de calendar spread significa que a variância total em algum strike diminui de um vencimento mais curto para um mais longo. Isso não pode acontecer em um mercado justo -- daria dinheiro grátis a você.

Abaixo, compare uma escolha ruim de φ (constante, ignora a maturidade) com a forma boa de lei de potência. Arraste o slider no painel esquerdo e observe o indicador de violação.

Phi constante = 3.0Sem violações

phi3.0

Um phi constante ignora o vencimento. O smile permanece igualmente inclinado em todos os vencimentos, o que pode fazer a variância total diminuir ao passar para vencimentos mais longos em alguns strikes.

Phi(theta) de lei de potênciaSem violações

O phi de lei de potência decai à medida que theta cresce, achatando o smile nos vencimentos mais longos. A variância total é monotonicamente crescente no tempo em todos os strikes — sem arbitragem de calendário.

O φ constante mantém o smile igualmente inclinado em todos os vencimentos. À medida que θ cresce, o smile inclinado empurra a variância total nas asas para além do devido nas maturidades curtas, mas não o suficiente nas maturidades longas -- criando cruzamentos.

A lei de potência de φ decai à medida que θ cresce, achatando naturalmente o smile em maturidades mais longas. Isso garante que w(k, θ) seja monotonicamente crescente em θ para todo k.

Seção 4

A forma de lei de potência

Dois parâmetros controlam a superfície inteira. Essa é a recompensa por todas as restrições que o SSVI impõe.

Phi de lei de potência

φ(θ) = η / (θ^γ (1 + θ)^1−γ)

η > 0 controla a amplitude geral do smile. γ ∈ [0, 1] controla a velocidade com que o smile se achata com a maturidade. A ausência de arbitragem de calendário exige η(1 + |ρ|) < 2.

Mova os sliders abaixo. Observe o heatmap mudar -- o eixo x é o log-moneyness, o eixo y é o vencimento e a cor é a volatilidade implícita.

η0.50

γ0.50

ρ-0.30

Superfície de volatilidade implícita SSVI

Vencimento (anos)

1.00.530.05

-0.800.8

Log-moneyness (k)

IV

19%51%

η escala a amplitude do smile em toda parte. Aumente-o e as asas se alargam em todos os vencimentos. γ muda a rapidez com que o smile se achata com a maturidade. γ baixo significa que smiles de longo prazo continuam inclinados; γ alto faz com que se achatem rapidamente.

Três parâmetros (ρ, η, γ) mais a curva de variância ATM observada θ(t). Essa é a superfície inteira. Compare isso com 25+ parâmetros para cinco fatias do SVI por fatia.

Para onde ir a seguir:

Referência do SSVI -- a fórmula completa, dicas de ajuste e tabela comparativa

Parametrização SVI -- o modelo por fatia que o SSVI estende

Como as superfícies são construídas -- o pipeline de produção