Modelos Simples e Fundamentais

Os blocos de construção. Black-Scholes: volatilidade constante, sem smile. O CEV adiciona um parâmetro para obter skew. O Displaced Diffusion desloca o eixo de preços para lidar com taxas negativas. Simples demais para o ajuste de smile em produção, mas todo modelo complexo estende um destes.

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Todo modelo complexo estende um modelo simples

O SABR precisa do CEV (sua espinha dorsal). O Heston precisa do Black-Scholes (seu caso especial). Comece aqui.

Visão Geral

Modelo

Parâmetros

Produz smile?

Ideia central

Black-Scholes

1

Não

Volatilidade constante. A base que todos os outros aprimoram.

CEV

2

Apenas skew

A volatilidade escala com o preço. A espinha dorsal dentro do SABR.

Displaced Diffusion

2

Apenas skew

Black-Scholes deslocado. Lida com taxas negativas.

Bachelier

1

Não (plano por definição)

Dinâmica normal. Os preços podem ficar negativos.

O que eles têm em comum

Todos os quatro modelos descrevem um único processo de difusão para o preço do ativo subjacente. Nenhum deles possui volatilidade estocástica, saltos ou qualquer segunda fonte de aleatoriedade. Eles diferem na dinâmica que assumem para o preço.

Modelo

Dinâmica de preço

Produz skew?

Limitação principal

Black-Scholes

Movimento browniano geométrico (lognormal)

Não

Smile plano -- sem skew, sem curvatura

CEV

Volatilidade com lei de potência: sigma * S^(beta-1)

Sim

Apenas skew, sem controle independente de curvatura

Displaced Diffusion

Lognormal deslocado: d(S + d)

Sim

Apenas skew, equivalente ao CEV para deslocamentos pequenos

Bachelier

Movimento browniano aritmético (normal)

Não

Smile plano, os preços podem ficar negativos

Como eles se relacionam

O Black-Scholes é a base: volatilidade constante, preço lognormal, sem smile. O CEV o generaliza fazendo a volatilidade escalar com o nível de preço (sigma vezes S elevado a beta menos um), o que produz skew. Essa é a espinha dorsal do SABR -- quando o SABR define seu componente de volatilidade local, ele usa o CEV. O Displaced Diffusion segue um caminho diferente: ele desloca o eixo de preços (modela S + d em vez de S), o que também produz skew e permite lidar com taxas ou preços negativos. Para deslocamentos pequenos, ele se comporta de forma semelhante ao CEV. O Bachelier é a versão aditiva do Black-Scholes: os preços seguem uma distribuição normal em vez de lognormal. Ele produz um smile plano (em termos de volatilidade normal) e naturalmente permite preços negativos, razão pela qual se tornou o padrão para opções de taxas de juros quando as taxas ficaram negativas.

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Modelos nesta seção:

• Black-Scholes — A base de tudo
• Modelo CEV — A volatilidade escala com o preço
• Displaced Diffusion — Lognormal deslocado
• Bachelier — Dinâmica normal, volatilidade aditiva