SABR do zero
1/5SABR dá à vol seu próprio processo
No Black-Scholes, a volatilidade é uma constante. No mundo real, a vol se move — e ela se move junto com o spot. O SABR captura esses dois fatos.
O modelo SABR é um sistema de duas EDEs acopladas. O preço a termo F e a volatilidade estocástica σ evoluem juntos:
dσ = α·σ·dW₂
corr(dW₁, dW₂) = ρ
Quatro parâmetros, cada um com um significado de mercado distinto. α é a vol-da-vol — controla quão agressivamente a própria volatilidade flutua. β é o backbone — determina se o processo se comporta mais como um movimento browniano geométrico (β=1) ou aritmético (β=0). ρ é a correlação entre os movimentos do spot e da vol — quando o spot cai, a vol sobe? (Em ações/cripto, sim: ρ < 0.)
O insight central: a vol não é apenas desconhecida — ela é aleatória e correlacionada com o ativo subjacente. Essa única ideia gera smiles realistas sem precisar de uma superfície inteira de parâmetros.
O SABR nasceu no mundo de juros (Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward, 2002). Toda mesa de swaptions o usa para interpolar entre strikes cotados. O motivo é simples: quatro parâmetros por vencimento, cada um mapeado para algo observável, e você obtém uma fórmula analítica para a vol implícita. Nada de Monte Carlo para o smile.
β controla o backbone
O expoente β determina como a vol instantânea escala com o nível do preço a termo. Ele define o caráter do processo do ativo subjacente antes mesmo de a vol-da-vol ou a correlação entrarem em cena.
β = 1 (lognormal): Movimentos percentuais têm tamanho constante. Se o BTC está em 60k, um movimento de 1% é $600. Se o BTC está em 30k, um movimento de 1% é $300. A volatilidade em dólares escala com o preço. Essa é a hipótese clássica do MBG.
β = 0 (normal): Movimentos em dólares têm tamanho constante. Com a taxa em 2% ou em 5%, o desvio-padrão diário em pontos-base é o mesmo. Isso é comum em mercados de juros.
β = 0.5 (tipo CIR): Um meio-termo. A vol escala com a raiz quadrada do preço. Popular em cripto e câmbio, onde nenhum dos extremos encaixa perfeitamente.
Deslize β abaixo e observe os três smiles de referência. Com β=1, o smile é relativamente simétrico em log-moneyness. Com β=0, o perfil de skew muda drasticamente. O backbone determina como o smile se desloca quando o spot se move — é assim que β se conecta ao comportamento sticky-strike vs sticky-delta.
Na prática, β costuma ser fixado em vez de ajustado. Mesas de juros normalmente usam β=0.5 ou β=0. Mesas de ações e cripto frequentemente usam β=1. O motivo: β é difícil de separar de ρ numa calibração de vencimento único. Fixar β e deixar os outros três parâmetros absorverem o smile é a prática padrão.
A aproximação de Hagan
O motivo pelo qual o SABR dominou o trading de juros: Hagan et al. derivaram uma aproximação em forma fechada para a vol implícita de Black-Scholes em função do strike. Sem resolver EDPs, sem simulação — apenas uma fórmula.
As barras empilhadas abaixo decompõem a vol implícita em cada strike em três contribuições aditivas. A base verde é o nível de vol ATM (o que você teria com ρ=0 e ν=0 — CEV puro). A camada laranja é a correção de skew de primeira ordem vinda de ρ. A camada azul é a correção de convexidade vinda de ν (vol-da-vol).
No dinheiro (ATM), as correções de skew e convexidade são aproximadamente zero — a base domina. Nas asas, as correções crescem. Ajuste os controles para ver como cada parâmetro controla sua camada correspondente.
Note como as barras laranjas de skew invertem o sinal: são positivas de um lado e negativas do outro (quando ρ ≠ 0). As barras azuis de convexidade são sempre positivas nas asas, adicionando prêmio tanto a puts quanto a calls bem fora do dinheiro.
ρ e ν moldam o smile
Depois que β e α definem o backbone e o nível geral de vol, o formato do smile é controlado por dois parâmetros: ρ (correlação) inclina o smile, e ν (vol-da-vol) o curva.
ρ é o botão do skew. Quando ρ < 0, quedas do spot vêm com altas da vol — as puts ficam mais caras que as calls. Quando ρ > 0, o oposto: as calls ficam mais caras. Com ρ = 0, o smile é simétrico (dado β=1 ou visto em log-moneyness).
ν é o botão da curvatura. Maior vol-da-vol significa que a própria vol é mais volátil, o que encarece as duas asas. O smile fica mais largo e a curtose da distribuição terminal aumenta. Com ν = 0, não há smile algum — você volta a um modelo CEV puro.
Os dois painéis abaixo isolam cada efeito. Esquerda: fixe ν, deslize ρ. Direita: fixe ρ, deslize ν. A linha tracejada é a referência (ρ=0 ou ν=0).
ν = 0.40: Vol de vol moderada: curvatura visível nas asas.
Essa separação é poderosa para a intuição, mas imperfeita na prática. ρ e ν não são totalmente ortogonais — mudar um desloca o valor ótimo do outro durante a calibração. Mas o modelo mental se sustenta: ρ rotaciona o smile, ν o infla.
Calibração e armadilhas
Calibrar o SABR significa encontrar (α, ρ, ν) que façam o smile do modelo corresponder às IVs observadas no mercado — com β normalmente fixado. Abaixo, tente ajustar o modelo a dados sintéticos de mercado manualmente.
Os círculos laranjas são as vols implícitas de "mercado". A curva verde é o seu modelo SABR. As linhas verticais mostram os resíduos — a diferença entre modelo e mercado em cada strike. Arraste os controles para minimizar o SSE (soma dos erros quadrados). Uma boa calibração deixa os resíduos próximos de zero em toda parte, não apenas no ATM.
Algumas coisas que praticantes aprendem rápido:
A aproximação de Hagan explode nas asas. Para opções bem fora do dinheiro (OTM) — digamos, puts de 10-delta numa swaption de 2 anos —, a fórmula de Hagan pode produzir vols implícitas negativas ou que disparam a níveis absurdos. Esse é o notório problema de "explosão nas asas". As soluções incluem a formulação SABR livre de arbitragem (Hagan-Lesniewski-Woodward 2014) ou abordagens exatas baseadas em EDPs.
Taxas negativas quebraram o modelo padrão. Com β > 0, o preço a termo F precisa ser positivo. Quando as taxas de juros ficaram negativas (EUR, JPY, CHF), as mesas migraram para o SABR deslocado (shifted SABR): aplica-se o modelo a (F + deslocamento), em que o deslocamento torna positivo o preço a termo efetivo.
Para cripto, β normalmente é fixado em 0.5 ou 1.0. Superfícies de volatilidade de cripto têm skew extremo e caudas gordas. β=1 (lognormal) é a escolha mais comum, já que preços de cripto não podem ficar negativos. Algumas mesas usam β=0.5 para um ajuste melhor nas asas.
O SABR é por vencimento, não um modelo de superfície. Cada vencimento recebe sua própria calibração de (α, ρ, ν). O modelo não diz nada sobre como esses parâmetros evoluem entre vencimentos. Para consistência na estrutura a termo, você precisa de restrições adicionais ou de outro framework (como SSVI ou vol local-estocástica).
Para onde ir em seguida:
Parametrização SVI — um modelo de superfície com garantias contra arbitragem de calendar spread
Volatilidade Local — uma abordagem complementar: vol determinística que replica exatamente todas as vanillas
Métodos de Interpolação — comparação de todos os métodos de smile/superfície