Modelo SABR

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Esta página cobre o modelo SABR em profundidade. Para contexto sobre como ele se encaixa no pipeline da superfície de volatilidade, veja Como as Superfícies São Construídas. Para uma comparação com outros métodos, veja Métodos de Interpolação.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) é um modelo de volatilidade estocástica introduzido por Hagan, Kumar, Lesniewski e Woodward (2002). Diferentemente do SVI, que descreve o formato do smile, o SABR descreve a dinâmica que o produz. O smile surge do modelo como consequência de como a volatilidade evolui junto com o ativo subjacente.

O SABR é o modelo dominante para swaptions de taxas de juros e caps/floors. Ele é menos comum em cripto, onde o SVI é preferido por seu ajuste mais simples e melhor comportamento nas caudas.

Explore os Parâmetros

Ajuste cada parâmetro para ver como o smile do SABR muda. Ative "Show backbone" para ver a curva apenas com CEV (como o smile fica sem vol-de-vol).

Explorador de Smile SABR

Smile típico de swaptions de taxas de juros. Skew moderado, curvatura leve.

α (nível de vol)0.30

Vol instantânea atual

β (backbone)0.50

0 = normal, 0.5 = raiz quadrada, 1 = lognormal

ρ (corr spot-vol)-0.30

Negativa = skew de puts (usual)

ν (vol da vol)0.40

Controla a largura do smile. 0 = sem smile.

Ative "Mostrar backbone" para ver a curva apenas CEV (sem vol da vol). A diferença entre o backbone e o smile completo é a contribuição de ν.

O que cada parâmetro faz

• $\alpha$ (nível de vol): A volatilidade instantânea atual. $\alpha$ mais alto = IV geral mais alta. Este é o parâmetro recalibrado com mais frequência.
• $\beta$ (backbone): Controla como a volatilidade escala com o preço do ativo subjacente. $\beta = 1$ significa que a vol percentual é constante (lognormal). $\beta = 0$ significa que a vol em dólares é constante (normal). $\beta = 0.5$ fica no meio (raiz quadrada). Na prática, $\beta$ geralmente é fixado por convenção de mercado, não ajustado.
• $\rho$ (correlação spot-vol): Controla o skew. $\rho$ negativo significa que a vol sobe quando o ativo subjacente cai (o comportamento usual em ações e cripto). $\rho$ positivo significa o oposto (raro).
• $\nu$ (vol da vol): Controla a largura do smile. Quando $\nu = 0$, não há smile, apenas o skew que $\beta$ e $\rho$ produzem (o "backbone"). À medida que $\nu$ aumenta, ambas as caudas se elevam.

O backbone

Clique em "Show backbone" no explorador acima. A linha tracejada é o smile com $\nu = 0$: sem aleatoriedade na vol, apenas o modelo CEV determinístico. A diferença entre o backbone e o smile completo é a contribuição de $\nu$ (vol-de-vol). Essa decomposição é única do SABR e dá aos traders uma intuição clara de onde vem a curvatura do smile.

Calibração

A abordagem padrão

1. Fixe $\beta$ conforme uma convenção de mercado:

   • Taxas de juros: $\beta = 0.5$ (comum) ou $\beta = 0$ (SABR normal)
   • Ações: $\beta = 1$ (lognormal)
   • Com $\beta$ fixado, o modelo tem 3 parâmetros livres.

2. Ancore $\alpha$ na vol ATM. Existe uma relação quase de forma fechada entre $\alpha$ e a volatilidade implícita ATM. Dada a IV ATM observada, resolva para $\alpha$. Isso reduz o ajuste a 2 parâmetros livres.

3. Ajuste $\rho$ e $\nu$ minimizando o erro ponderado entre o smile do SABR e as IVs observadas nos diversos strikes. Com apenas 2 parâmetros, isso é rápido e robusto.

Ponderação

• O ATM recebe o maior peso (mais líquido, mais confiável)
• Opções com spreads bid-ask apertados recebem mais peso
• Opções muito fora do dinheiro (OTM) recebem menos peso (a aproximação de Hagan é menos precisa nessa região)

Pontos fortes

Interpretação dinâmica. O SABR informa como o smile deve se mover quando o ativo subjacente se move. Por padrão, o SABR produz um comportamento do tipo sticky-delta: quando o spot cai, a vol sobe (se $\rho < 0$), e o smile se desloca com o spot. Isso é valioso para produtos em que a dinâmica do smile importa para o hedge.

Decomposição do backbone. A separação entre backbone (skew guiado por $\beta$) e smile (curvatura guiada por $\nu$) dá aos traders um modelo mental claro.

Parcimonioso. Com $\beta$ fixado e $\alpha$ ancorado no ATM, você ajusta apenas 2 parâmetros. Isso é rápido e deixa pouco espaço para overfitting.

Limitações

Problemas nas caudas. A aproximação de Hagan pode produzir vol implícita negativa ou densidade de probabilidade negativa nas caudas extremas. Este é um problema conhecido. Sistemas de produção usam formulações corrigidas (SABR livre de arbitragem, ou um solver de EDP para strikes extremos).

Vencimentos longos. A expansão assintótica se degrada para vencimentos além de 10-15 anos. Use um método numérico nesse caso.

Ajuste estático, não calibração dinâmica. Apesar da interpretação dinâmica do SABR, na prática cada vencimento é ajustado independentemente (assim como no SVI). A narrativa dinâmica é aspiracional, não imposta operacionalmente.

SABR vs. SVI

	SABR	SVI
O que modela	Dinâmica que produz o smile	Formato do smile
Parâmetros	3 (com $\beta$ fixado)	5
Arbitragem	A fórmula de Hagan pode violar nas caudas	Restrições limpas disponíveis
Comportamento nas caudas	Pode falhar em strikes extremos	Assíntotas lineares, limitadas
Velocidade	Avaliação de fórmula	Otimização
Melhor para	Taxas de juros, FX	Ações, cripto

A diferença fundamental: o SABR responde "como o smile se move?" enquanto o SVI responde "com o que o smile se parece?" Para precificação e risco de opções europeias simples, o ajuste mais simples e o melhor comportamento nas caudas do SVI geralmente vencem. Para produtos em que a dinâmica do smile importa (swaptions bermudanas, opções de barreira sob sticky-delta), a interpretação dinâmica do SABR é valiosa.

Conexão com o SVI

O SABR pode inicializar ajustes de SVI. Ajuste o SABR primeiro (otimização rápida de 2 parâmetros), avalie o smile do SABR em muitos strikes, depois ajuste o SVI a esses pontos. Isso dá ao SVI um bom ponto de partida quando os dados de mercado são esparsos.

Construindo intuição matemática

Aprenda SABR do zeroLição interativa · 4 parâmetros, 5 seções

A lição interativa acima percorre os quatro parâmetros do SABR um de cada vez: como alpha define o nível de vol, como rho inclina o skew, como nu eleva as caudas e como beta controla a dinâmica do backbone. Cada seção tem um slider dedicado para que você possa isolar o efeito de um parâmetro.

Implementações open source

Repositório	Por que examinar
QuantLib	Aproximação de Hagan do SABR + calibração
pysabr	Implementação do SABR em Python puro, legível
OpenGamma Strata	SABR com interpolação de smile em risco de produção

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Veja também:

• Parametrização SVI - O modelo que a Hypercall usa
• Volatilidade Local - A superfície de vol instantânea de Dupire
• Métodos de Interpolação - Todos os métodos comparados
• Como as Superfícies São Construídas - O pipeline completo