Rough Bergomi do zero
1/5A volatilidade tem trajetórias rugosas
Quando pesquisadores mediram como a volatilidade realizada se comporta em alta frequência, encontraram algo que quebra todos os modelos clássicos: a autocorrelação dos incrementos de vol decai como uma lei de potência, não exponencialmente. As trajetórias de vol são muito mais irregulares do que se supunha.
No Heston, SABR ou qualquer modelo baseado em difusão, o processo de variância é dirigido por movimento browniano padrão. O BM tem um expoente de Hurst de H = 0.5, o que significa que seus incrementos são não correlacionados. As trajetórias resultantes são contínuas, mas suaves o bastante para serem diferenciáveis "na maior parte do tempo" em um sentido intuitivo.
Gatheral, Jaisson e Rosenbaum (2018) mediram a vol realizada de índices de ações e ações individuais. Eles observaram como a autocorrelação dos incrementos do log da volatilidade decai com o lag. O resultado: ela decai como uma lei de potência, γ(k) ∼ k2H−1, with H ≈ 0.1. Não H = 0.5. Não H = 0.3. H está próximo de zero.
Imagine desenhar uma linha com uma régua vs. rabiscar com uma caneta enquanto alguém esbarra no seu cotovelo. Os modelos clássicos usam a régua. A rough vol diz que o rabisco está mais próximo da realidade. A caneta muda de direção constantemente em toda escala de tempo, não apenas na frequência de algum processo OU de reversão à média.
O que significa H ≈ 0.1 na prática? Os incrementos de vol são fortemente anticorrelacionados. Se a vol subiu nos últimos cinco minutos, é mais provável que caia nos próximos cinco. Essa reversão constante em toda escala de tempo é o que faz o caminho parecer rugoso -- irregular e fractal, como uma linha costeira em vez de uma rodovia.
Isso não é uma escolha de modelagem. É um fato empírico observado em ações, índices, câmbio e cripto. A universalidade de H ≈ 0,1 é uma das descobertas mais impressionantes da econometria financeira moderna.
Arraste o controle deslizante acima. Em H = 0.5, a autocorrelação é zero em todos os lags -- BM padrão, sem memória. À medida que você reduz H em direção a 0.1, a autocorrelação torna-se fortemente negativa. Os incrementos são anticorrelacionados. Isso é rugosidade.
O que H controla
H é o expoente de Hurst. É o único número que governa quão rugoso ou suave um processo estocástico parece. Tudo na teoria de rough vol decorre de H ser muito menor que 0.5.
H = 0.5: Movimento browniano padrão. É o que o Heston usa. Os incrementos são não correlacionados. Os caminhos são contínuos, mas não diferenciáveis. A rugosidade "padrão" que as finanças clássicas assumem.
H < 0.5: Rugoso. Os incrementos são anticorrelacionados. Quanto menor o H, mais rugoso o caminho. Em H = 0,1, os caminhos parecem ter sido desenhados por um sismógrafo de terremoto. Cada oscilação para cima é provavelmente seguida por uma oscilação para baixo, em toda escala de tempo.
H → 0: Extremamente rugoso. No limite, o caminho fica tão irregular que mal é contínuo. Para fins práticos, H ≈ 0,1 é rugoso o suficiente para corresponder aos mercados reais.
H > 0.5: Suave (persistente). Os incrementos são positivamente correlacionados. Os caminhos apresentam tendência. Esse regime não é relevante para volatilidade, mas aparece em alguns modelos de hidrologia e de tráfego de rede.
O painel superior mostra três trajetórias de variância lado a lado em H = 0.1, 0.3 e 0.5. A diferença visual é dramática. Em H = 0.5 a trajetória serpenteia suavemente. Em H = 0.1 ela parece o chuvisco de uma tela de TV -- reversões constantes, picos irregulares.
Use o controle deslizante no painel inferior para varrer H continuamente. Observe como a trajetória se transforma de suave em rugosa à medida que você reduz H. Isso não é um parâmetro de um modelo específico -- é uma propriedade mensurável de dados reais de volatilidade.
O modelo rough Bergomi
Bayer, Friz e Gatheral (2016) pegaram o achado empírico de rough vol e construíram um modelo de precificação em torno dele. O processo de variância é dirigido por movimento browniano fracionário em vez do BM padrão. O resultado é elegante, parcimonioso e não markoviano.
η (eta): vol-of-vol. Controla o quanto a variância se desvia da curva a termo. Quanto maior η = smile mais amplo.
WH(t): movimento browniano fracionário com expoente de Hurst H. Este é o driver rugoso.
−½η²t2H: correção de convexidade garantindo E[v(t)] = ξ₀(t). O modelo é automaticamente calibrado para a estrutura a termo da variância.
O preço à vista segue a difusão log-normal usual com a variância instantânea v(t):
Conte os parâmetros livres: H (expoente de Hurst), η (vol-of-vol), e ρ (correlação spot-vol). São três parâmetros no total, além da curva de variância a termo ξ₀(t) que é lida do mercado. Compare com os cinco parâmetros livres do Heston. O modelo é mais parcimonioso.
A diferença crítica em relação ao Heston: este modelo não é markoviano. No Heston, o futuro da variância depende apenas do nível atual da variância. No rough Bergomi, o futuro depende de todo o histórico do caminho. O MB fracionário tem dependência de longo alcance embutida. Você não consegue resumir o estado em um único número.
Alterne entre Markov e rough acima. Duas trajetórias de variância chegam ao mesmo nível no instante "AGORA", mas chegaram lá por rotas diferentes. No Heston (Markov), suas distribuições futuras são idênticas -- o modelo não tem memória. No rough Bergomi, a trajetória que estava subindo tem um cone futuro diferente da trajetória que estava caindo. A história está impressa na dinâmica.
Se você é um trader de vol e vê a vol realizada de 30 dias em 45%, você quer saber: ela chegou lá disparando a partir de 20% (provável reverter à média rapidamente), ou subindo lentamente a partir de 40% (provável persistir)? O Heston não consegue distinguir esses dois cenários. O rough Bergomi consegue. A história da trajetória contém informação sobre o futuro.
Por que a rough vol explica os smiles de curto prazo
A aplicação matadora da teoria da vol rugosa: ela prevê que o skew ATM escala como TH−0.5. Em H = 0,1, isso significa que o skew explode para vencimentos curtos -- exatamente o que os mercados de cripto e de ações mostram.
O skew ATM é a inclinação da volatilidade implícita como função do log-moneyness, avaliada no dinheiro. Todo modelo de vol estocástica prevê uma relação específica entre esse skew e o vencimento T:
H = 0.1 (rough): skew ∝ T−0.4. O skew explode quando T → 0. Corresponde aos dados reais.
Este é o ponto central de todo o programa de rough vol. Os modelos clássicos preveem uma estrutura a termo de skew plana demais na ponta curta. Eles conseguem replicar o skew de 3 meses, mas têm dificuldade com o skew de 1 semana ou 1 dia. Traders sabem há anos que os smiles de curto prazo são mais íngremes do que o Heston prevê. A rough vol explica por quê: a rugosidade do processo de variância subjacente controla diretamente quão rápido o skew cresce à medida que o vencimento encurta.
O gráfico acima mostra os três regimes em escala logarítmica. Em H = 0.1 (verde), a curva de skew é íngreme -- o skew de curto prazo é muito maior que o de longo prazo. Em H = 0.5 (vermelho, tipo Heston), a curva é quase plana. Os pontos amarelos são dados empíricos do BTC, e acompanham de perto a curva H = 0.1.
Isso não é coincidência. Quando você mede H a partir dos dados de vol realizada do BTC, obtém H ≈ 0,1. Quando você observa a estrutura a termo do skew implícita pelas opções de BTC, ela escala como T−0.4. A teoria e os dados concordam.
Por que o Heston erra nisso: o processo de variância CIR do Heston é conduzido por MB padrão (H = 0,5). Ele não consegue produzir decaimento de skew em lei de potência com expoente abaixo de zero. Você pode deixar o skew do Heston mais íngreme aumentando σ (vol-of-vol), mas isso viola a condição de Feller e cria problemas numéricos. O rough Bergomi alcança um skew íngreme de curto prazo naturalmente, sem qualquer contorção de parâmetros.
Desafios de precificação
O rough Bergomi é teoricamente belo e empiricamente embasado. Mas é caro de usar. Sem preços em forma fechada, sem PDE, sem truque de Fourier rápido. Apenas Monte Carlo, e mesmo isso é lento por causa da estrutura não markoviana.
Sem função característica em forma fechada. O recurso matador do Heston é seu apreçamento semianalítico via inversão de Fourier. O rough Bergomi não tem isso. O driver de BM fracionário quebra a estrutura afim que torna a função característica do Heston solúvel.
Apenas Monte Carlo. Para apreçar uma opção vanilla sob o rough Bergomi, você simula trajetórias do processo de variância, calcula os preços spot terminais e faz a média dos payoffs. Convergência padrão de Monte Carlo: 1/√N. Para obter um preço com precisão de 1 ponto-base, você precisa de muitas trajetórias.
Simular fBM é caro. O BM padrão é markoviano: para simular o próximo passo, você só precisa do valor atual. O fBM é não markoviano: para simular o próximo passo corretamente, você precisa de todo o histórico da trajetória. Uma decomposição de Cholesky ingênua custa O(N²) por trajetória em memória e O(N³) em tempo, onde N é o número de passos de tempo. Isso é brutal para trajetórias longas.
Esquemas híbridos. Bayer, Friz e Gatheral propuseram um esquema híbrido que divide o kernel do fBM em uma parte "próxima" (calculada exatamente) e uma parte "distante" (aproximada com algumas funções de base). Isso reduz o custo para aproximadamente O(N · log N) por trajetória, o que torna a calibração viável, mas ainda não rápida o suficiente para apreçamento em tempo real em uma mesa de operações.
Sem EDP. Modelos markovianos como o Heston podem ser apreçados via EDPs (diferenças finitas). Isso proporciona um apreçamento rápido baseado em grade. Modelos não markovianos não têm espaço de estados de dimensão finita, então você não pode escrever uma EDP. A "maldição da não markovianidade" é que o estado é de dimensão infinita (todo o histórico da trajetória).
Onde o rough Bergomi se encaixa na prática:
1. Pesquisa e estudos de calibração. Acadêmicos e pesquisadores quant o usam para validar a hipótese de rough vol e para comparar outros modelos. Se o seu modelo rápido (SVI, SABR) dá um skew diferente do que o rough Bergomi prevê, você sabe que algo está errado.
2. Calibração noturna. Algumas mesas rodam a calibração do rough Bergomi durante a noite como diagnóstico. Ela informa se o modelo rápido usado durante o dia está perdendo a dinâmica do skew.
3. Informar a intuição. Mesmo que você nunca rode o modelo ao vivo, entender rough vol muda como você pensa sobre opções de curto prazo. Quando o skew de 1 dia parece mais íngreme do que seu modelo prevê, rough vol lhe diz que isso é normal -- são as trajetórias de variância rough do mercado se manifestando.
4. Proxies de rede neural. Trabalhos recentes treinam redes neurais para aproximar os preços do rough Bergomi. A rede aprende o mapeamento de parâmetros para preços offline (usando Monte Carlo lento), e depois avalia em milissegundos em tempo de execução. Isso pode eventualmente tornar o rough vol utilizável em produção.
O rough Bergomi está na interseção entre matemática financeira e econometria. É um dos raros casos em que uma medição (H ≈ 0.1) ditou diretamente um modelo. A maioria dos modelos é inventada primeiro e ajustada depois. O rough vol foi descoberto primeiro nos dados e formalizado depois. Esse embasamento empírico é o motivo pelo qual a comunidade o leva a sério, apesar do custo computacional.
Para onde ir a seguir:
Modelo de Heston -- o cavalo de batalha da vol estocástica markoviana, com apreçamento de Fourier
Parametrização SVI -- o padrão de ajuste rápido de smile para superfícies de vol de cripto
Modelo SABR -- vol estocástica sem reversão à média
Métodos de Interpolação -- todos os métodos de construção de superfície comparados