Merton Jump-Diffusion do zero
1/5Black-Scholes não consegue lidar com crashes
O modelo Black-Scholes assume que o preço se move continuamente — tick a tick, sem teletransporte. Isso funciona 99% do tempo. O outro 1% é o que explode a sua conta.
Os mercados abrem com gaps. Anúncios de resultados, choques geopolíticos, exploits de protocolos — o preço salta instantaneamente de um nível para outro sem nada no meio. Um modelo que só conhece difusão literalmente não consegue atribuir probabilidade a esses eventos.
A solução de Robert Merton (1976): manter a difusão, mas acoplar uma segunda fonte de aleatoriedade — um processo de Poisson que dispara em momentos aleatórios. Quando dispara, o preço salta por um valor aleatório extraído de uma distribuição lognormal.
dN — contador de Poisson. Normalmente 0. Ocasionalmente 1 (ocorre um salto).
J — multiplicador do salto. ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²). Se J = 0.9, o preço cai 10% instantaneamente.
λ — número médio de saltos por ano. k = E[J − 1] — compensador para manter o drift limpo.
Abaixo estão três trajetórias de preço simuladas sob o modelo de Merton. Na maior parte do tempo, a trajetória é difusão suave. Então aparece uma linha vertical — isso é um salto. Aumente λ para ver saltos mais frequentes, ou torne μJ mais negativo para ver comportamento de crash.
Pense na difusão como atravessar uma sala andando. Você dá passos pequenos e contínuos. Agora adicione alçapões no chão. A maioria dos passos é normal. Mas ocasionalmente você cai por um alçapão e aterrissa em um lugar inesperado. Esse é o componente de salto.
Três novos parâmetros
Além do σ usual (vol de difusão), Merton adiciona três parâmetros que juntos controlam o formato do smile de volatilidade implícita. Cada um cumpre uma função específica.
λ (lambda) — frequência de saltos. Quantos saltos por ano, em média. Um λ maior significa saltos mais comuns, o que eleva as duas asas do smile. Se λ = 0, você está de volta ao mundo Black-Scholes.
μJ (mu-J) — tamanho médio do salto. Se negativo, os saltos são predominantemente para baixo (crashes). Isso inclina o smile — a asa esquerda (puts) fica mais cara que a asa direita (calls). Se zero, os saltos são simétricos e o smile é aproximadamente simétrico.
σJ (sigma-J) — volatilidade do tamanho do salto. O quão variável é o tamanho do salto. Mesmo se μJ = 0, um σJ alto significa que alguns saltos são enormes e outros são minúsculos. Isso adiciona excesso de curtose — caudas mais gordas que o normal — o que aumenta a curvatura das asas.
Brinque com os controles acima. Três experimentos para testar:
1. Defina λ = 0. O smile fica plano — BS puro.
2. Defina λ = 2, μJ = −0.15,σJ = 0.05. Você obtém um skew de queda acentuado — o mercado espera crashes mais do que altas.
3. Defina μJ = 0, σJ = 0.30. As duas asas sobem simetricamente — caudas gordas puras, sem viés direcional.
A fórmula de precificação
A fórmula de precificação de Merton é elegante: o preço da opção é uma soma ponderada de preços de Black-Scholes, um para cada número possível de saltos. Se você sabe precificar calls vanilla no BS, você sabe precificar Merton.
σn² = σ² + nσJ²/τ — cada salto adicional acrescenta mais variância efetiva.
O peso é uma probabilidade de Poisson — a chance de exatamente n eventos no tempo τ.
Na prática, 10–15 termos são suficientes, porque os pesos de Poisson decaem rápido.
A visualização abaixo decompõe o preço de Merton em seus seis primeiros termos. O painel esquerdo mostra barras para cada termo no strike escolhido. O painel direito mostra como os termos se empilham ao longo de todos os strikes — você pode ver quais termos dominam no dinheiro (ATM) versus nas asas.
Observação-chave: o termo n=0 (zero saltos) é simplesmente o preço Black-Scholes comum. Os termos superiores adicionam progressivamente mais valor às asas, porque os saltos elevam a volatilidade efetiva e tornam alcançáveis os strikes distantes.
Mova o controle de strike para as asas (K=80 ou K=120). Observe como os termos de n mais alto se tornam proporcionalmente mais importantes. No dinheiro (ATM), n=0 domina. Nas asas, n=1 e n=2 começam a fazer um trabalho pesado — é aí que vive o prêmio de salto.
O risco de salto não é hedgeável
No Black-Scholes, o hedge de delta elimina todo o risco — você rebalanceia continuamente, e o risco de difusão se cancela. Com saltos, isso quebra. O salto acontece instantaneamente; você não consegue rebalancear rápido o suficiente.
Pense bem: o hedge de delta funciona ajustando sua posição no ativo subjacente em resposta a pequenas variações de preço. Mas um salto não é pequeno — o preço se teletransporta. Quando você consegue reagir, o dano (ou o ganho inesperado) já aconteceu. Seu hedge foi dimensionado para o preço pré-salto, não para o preço pós-salto.
Isso significa que o mercado de Merton é incompleto. Você não consegue replicar todo payoff apenas com o ativo subjacente e o título. O risco de salto é um fator de risco separado que o mercado precisa precificar. É por isso que, no mundo real, as opções carregam um prêmio acima do que a lógica do hedge de delta do BS implicaria.
Clique em Regenerar algumas vezes e observe o padrão. No painel BS (esquerda), o PnL acumulado oscila mas permanece relativamente contido — o hedge está fazendo seu trabalho. No painel Merton (direita), o PnL parece semelhante na maior parte do tempo, mas então aparece uma barra vertical vermelha (um salto) e o PnL despenca.
Os choques de PnL induzidos por saltos são assimétricos quando μJ < 0: saltos para baixo prejudicam quem faz o hedge (que está vendido em gama) mais do que saltos para cima ajudam. Essa é a razão fundamental de as puts de crash carregarem um prêmio — alguém precisa ser compensado por assumir esse risco de salto não hedgeável.
Merton vs. Heston vs. realidade
Merton é brilhante em smiles de curto prazo. Heston é brilhante em smiles de longo prazo. A realidade precisa de ambos — e é por isso que o modelo de Bates (Heston + saltos) se tornou o cavalo de batalha da indústria.
Eis a distinção principal:
Saltos dominam em vencimentos curtos. Uma opção de 1 semana é curta demais para a volatilidade estocástica “difundir” de forma significativa. Mas um único salto ainda pode alcançar um strike distante. O componente de salto de Merton é o principal motor dos preços das asas de curto prazo.
Vol estocástica domina em vencimentos longos. Ao longo de 6 meses, a própria vol oscila para cima e para baixo o suficiente para gerar caudas gordas por conta própria. Os eventos de salto são “diluídos” na média — um salto em 252 dias de negociação importa menos que um salto em 5 dias de negociação.
Asas de longo prazo → vol da vol → Heston
Ambos → Bates = Heston + saltos de Merton
A consequência prática: se você calibrar Merton com opções de 1 mês e depois usá-lo para precificar opções de 1 ano, o smile de longo prazo ficará plano demais. O componente de salto decai com √τ, mas o smile do mercado permanece elevado em prazos longos porque a própria vol é incerta.
Inversamente, o Heston sozinho subprecifica as asas de curto prazo. O processo de vol é lento demais para criar a curtose extrema de curto prazo que o mercado exige. Para isso, você precisa de saltos.
Black-Scholes: smile plano. Sem skew, sem asas. O benchmark mais simples.
Merton: smile com asas elevadas, especialmente em vencimentos curtos. Skew se μJ < 0. O smile se achata com o vencimento à medida que os saltos são diluídos.
Heston: smile via vol da vol. O smile persiste em vencimentos longos. Gera skew pela correlação vol-spot (ρ).
Bates: Heston + saltos de Merton. Reproduz a estrutura a termo do smile de prazos curtos a longos. A escolha padrão da indústria para ações e cripto.
Próximos passos:
Modelo de Heston — vol estocástica, a outra metade do quadro
Modelo de Bates — Heston + saltos: o cavalo de batalha da indústria
Salto-Difusão de Kou — saltos assimétricos com caudas duplo-exponenciais