Volatilidade local do zero
1/5A vol implícita é uma média combinada
A ideia mais importante da vol local: a volatilidade implícita que você observa para um determinado strike e vencimento não é a volatilidade naquele ponto. É uma média ponderada pelo caminho de todas as vols locais ao longo do trajeto.
Pense nisso como uma viagem de carro. O limite de velocidade muda de cidade para cidade (essas são as vols locais). Sua velocidade média ao longo de toda a viagem é a sua vol implícita. Duas viagens que terminam no mesmo destino podem ter velocidades médias diferentes porque passaram por cidades diferentes.
Abaixo, cada caminho começa em S=100 e termina no mesmo preço terminal. Mas cada caminho percorre diferentes regiões de preço, cada uma com sua própria vol local. A vol implícita é a média de todos esses caminhos.
Adicione mais caminhos e observe a vol média se estabilizar. Cada caminho experimenta diferentes vols locais dependendo de quais níveis de preço visita. O sombreamento de fundo mostra o cenário da vol local — mais claro significa vol mais alta.
O que é vol local?
A volatilidade local é a volatilidade instantânea em um ponto específico (preço, tempo). É um cenário: a cada preço spot e a cada momento no tempo, há um valor específico de vol.
O modelo diz: se o ativo subjacente está no preço S no tempo t, a vol instantânea é exatamente σ(S, t). Sem aleatoriedade na própria vol — é uma função determinística de onde o preço está e quando.
Passe o cursor sobre o heatmap abaixo para ver o valor da vol local em cada ponto. Observe o padrão: vol mais alta em preços spot baixos (lado esquerdo), vol mais baixa em preços spot altos (lado direito). Essa assimetria gera o skew da vol implícita.
A vol local é como um mapa topográfico da velocidade do vento. A cada (latitude, longitude) há uma velocidade de vento específica. Um navio navegando de A a B experimenta ventos diferentes dependendo de sua rota. A velocidade média do vento ao longo da jornada é como a vol implícita. A velocidade do vento em cada ponto individual é a vol local.
Fórmula de Dupire
Dupire mostrou que você pode extrair a superfície de vol local diretamente dos preços de opções observados. A fórmula usa duas derivadas parciais da função de preço da opção de compra.
∂²C/∂K² — a curvatura dos preços de opção de compra ao longo dos strikes. Essa é a densidade de probabilidade do preço terminal (o spread butterfly). Quando esse termo é zero, há arbitragem de butterfly e a vol local fica indefinida.
A grade abaixo mostra os preços de opção de compra de Black-Scholes calculados com uma superfície de vol implícita com skew. Clique em qualquer célula interior para selecioná-la. Alterne entre as duas visualizações de derivadas para ver quais células vizinhas contribuem para o numerador e o denominador.
| T \ K | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 115 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.10y | 15.60 | 11.06 | 7.30 | 5.36 | 2.28 | 0.81 | 0.26 |
| 0.25y | 17.06 | 13.16 | 10.11 | 8.50 | 5.43 | 2.97 | 1.57 |
| 0.50y | 19.57 | 16.19 | 13.57 | 12.06 | 9.70 | 6.42 | 4.22 |
| 0.75y | 21.85 | 18.75 | 16.32 | 14.82 | 13.05 | 9.63 | 6.89 |
| 1.00y | 23.93 | 21.00 | 18.68 | 17.15 | 15.63 | 12.64 | 9.52 |
O numerador (∂C/∂T) mede quanto valor temporal extra o mercado atribui a um vencimento mais longo — essa é a informação da vol futura. O denominador (∂²C/∂K²) é a densidade de probabilidade neutra ao risco. A razão entre eles isola a variância instantânea naquele ponto (K, T).
Do smile à superfície
O smile de vol implícita — uma curva de IV ao longo dos strikes — mapeia para uma superfície de vol local inteira. Ajustar o formato do smile muda o cenário da vol local.
Use os controles deslizantes abaixo para mudar o smile de vol implícita: seu nível base, skew (inclinação) e curvatura (convexidade). O painel esquerdo mostra o smile de IV. O painel direito mostra o heatmap de vol local resultante calculado via Dupire.
Pontos-chave a observar:
A vol local é sempre mais extrema que a vol implícita. Como a vol implícita faz a média ao longo dos caminhos, ela suaviza os picos e vales da vol local. Aumente a curvatura e observe as asas da vol local ficarem muito mais pronunciadas.
Adicionar skew desloca a vol local de forma assimétrica. Skew negativo (típico em mercados de ações/cripto) produz vol local mais alta à esquerda (spot baixo) e mais baixa à direita.
Por que isso importa para exóticas
Para opções vanilla, a vol implícita é suficiente. Para qualquer coisa dependente do caminho — barreiras, asiáticas, lookbacks — você precisa saber onde a vol está ao longo do caminho, não apenas a média terminal.
Uma opção de compra down-and-out tem payoff como uma opção de compra normal, a menos que o preço toque uma barreira no caminho. A probabilidade de atingir a barreira depende da vol que o preço experimenta perto do nível da barreira. Duas superfícies de vol local diferentes podem produzir o mesmo preço de opção de compra vanilla, mas preços de barreira radicalmente diferentes.
Esse é o argumento central para a vol local: ela torna seus preços de exóticas consistentes com os das vanillas. Qualquer opção de barreira ou dependente do caminho precificada sob vol local tem garantia de não contradizer os preços vanilla observados. Você obtém um único modelo unificado em vez de ajustes ad-hoc.
A ressalva: a vol local prevê uma dinâmica de smile incorreta (a vol é determinística, então não pode surpreender). Na prática, as mesas usam vol local estocástica (SLV) — vol local para a precisão da calibração, mais um componente estocástico para uma dinâmica realista.
Para onde ir a seguir:
Parametrização SVI — o modelo usado para construir a superfície implícita que alimenta o Dupire
Modelo SABR — uma alternativa de vol estocástica com dinâmica melhor
Métodos de Interpolação — todos os métodos comparados