Volatilidade Local

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Esta página aborda o modelo de volatilidade local de Dupire. Para contexto sobre como ele se encaixa no pipeline da superfície de volatilidade, veja Como as Superfícies São Construídas. Para uma comparação com outros métodos, veja Métodos de Interpolação.

A volatilidade local é a volatilidade instantânea do ativo subjacente em um nível de preço específico e ponto no tempo. É a função $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$ que, quando inserida em um modelo de difusão, reproduz exatamente todos os preços observados de opções europeias.

A ideia foi desenvolvida de forma independente por Bruno Dupire (1994) e Derman & Kani (1994). É o modelo único que corresponde à superfície completa de volatilidade implícita sem quaisquer suposições adicionais.

Volatilidade Implícita vs. Volatilidade Local

A percepção-chave: a volatilidade implícita é uma média combinada das volatilidades locais ao longo do caminho até o vencimento. A volatilidade local é a volatilidade instantânea, "pontual".

Volatilidade implícita vs. volatilidade local

Smile típico de ações/cripto. A vol local é maior e mais pontiaguda que a implícita.

A vol local (linha sólida) é sempre mais pontiaguda que a vol implícita (tracejada). A vol implícita é uma média ponderada das vols locais ao longo da trajetória.

Alterne entre os formatos de smile e note:

• A volatilidade local é sempre mais acentuada. Como a volatilidade implícita faz a média ao longo do caminho, ela suaviza os extremos. A volatilidade local mostra a imagem bruta, sem média.
• Skew implícito mais íngreme = volatilidade local mais dramática. No caso de skew íngreme (crise), a volatilidade local diverge na asa esquerda. É o modelo dizendo: "Se o spot cair tanto, a volatilidade instantânea precisaria ser muito alta para corresponder aos preços observados das puts."
• A relação é como a das taxas spot vs. taxas forward. A volatilidade implícita é a taxa spot (média de agora até o vencimento). A volatilidade local é a taxa forward (a taxa instantânea em um ponto futuro).

O Que Significa a Volatilidade Local

Pense no preço do ativo subjacente evoluindo através de uma paisagem de volatilidades. Em cada ponto do espaço (preço, tempo), há uma volatilidade específica. À medida que o ativo subjacente vagueia, ele experimenta diferentes volatilidades instantâneas.

Uma opção ATM de 30 dias com volatilidade implícita de 50% pode atravessar volatilidades locais que variam de 40% a 65% ao longo de seu caminho. A volatilidade implícita de 50% é a média neutra ao risco sobre todas essas volatilidades locais, ponderada pelo tempo gasto em cada nível.

É por isso que duas opções com strikes diferentes podem ter volatilidades implícitas diferentes mesmo dependendo do mesmo processo do ativo subjacente: elas atravessam diferentes partes da paisagem de volatilidade local.

Quando Usar a Volatilidade Local

Precificação de opções exóticas

O principal caso de uso da volatilidade local. O fluxo de trabalho:

1. Observe os preços das opções europeias (ou volatilidades implícitas) no mercado
2. Ajuste uma superfície de volatilidade implícita livre de arbitragem (usando SVI, SSVI ou similar)
3. Derive a superfície de volatilidade local via fórmula de Dupire
4. Construa um mecanismo de precificação numérico (PDE de diferenças finitas ou Monte Carlo) usando a superfície de volatilidade local
5. Precifique a exótica evoluindo o ativo subjacente pela paisagem de volatilidade local

A garantia: qualquer exótica precificada sob volatilidade local é consistente com todos os preços observados de opções europeias. O preço da sua opção de barreira não contradiz as vanilla, o que importa para o hedge.

Gregas consistentes com a superfície

As gregas calculadas sob volatilidade local levam em conta o fato de que a volatilidade muda conforme o spot se move. O delta sob volatilidade local difere do delta de Black-Scholes porque o modelo "sabe" que mover-se para um nível de spot diferente significa experimentar uma volatilidade local diferente. Isso é conceitualmente semelhante ao que Taleb chama de "gama sombra": a mudança extra de delta que vem da volatilidade mudar porque o spot se moveu.

O Problema da Dinâmica

A volatilidade local tem uma fraqueza bem conhecida: ela prevê a dinâmica do smile de forma errada.

Sob volatilidade local, a volatilidade é uma função determinística do spot. Uma vez que você sabe onde está o spot, sabe exatamente qual é a volatilidade. Não há "surpresa" na volatilidade. Isso significa:

• Quando o spot cai, a volatilidade local diz que a volatilidade sempre seria tão alta a esse preço. O smile se achata.
• Na prática, quando o spot cai, a volatilidade muitas vezes aumenta mais do que a volatilidade local prevê, e o smile fica mais íngreme.

O resultado: a volatilidade local subvaloriza sistematicamente as opções que dependem do formato futuro do smile (opções de barreira, opções com início forward, cliquets).

Volatilidade Local vs. Outros Modelos

	Volatilidade Local	SVI	SABR
O que é	Volatilidade instantânea em cada (S, t)	Formato paramétrico do smile	Modelo de volatilidade estocástica
Observável?	Não (derivado)	Não (ajustado)	Não (ajustado)
Calibração exata	Sim (por construção)	Aproximada	Aproximada
Dinâmica do smile	Errada (determinística)	Não especificada	Melhor (estocástica)
Precificação de exóticas	Sim (uso principal)	Não	Limitada
Velocidade	Lenta (PDE/MC)	Rápida	Rápida (fórmula)
Melhor para	Barreiras, asiáticas, exóticas	Precificação vanilla, risco	Swaptions, vanillas de FX

Conexão com Outros Modelos

Volatilidade implícita para volatilidade local: fórmula de Dupire. Requer uma superfície implícita livre de arbitragem como entrada.

Volatilidade local para volatilidade implícita: execute uma PDE forward sob a superfície de volatilidade local, precifique europeias, inverta para obter as volatilidades implícitas. Isso faz o ciclo de ida e volta exatamente por construção.

SABR e volatilidade local: o parâmetro $\beta$ do SABR controla a espinha dorsal da volatilidade local ($\sigma_{\text{loc}} \sim F^\beta$), enquanto $\nu$ adiciona uma camada estocástica por cima. O SABR pode ser visto como uma aproximação paramétrica da volatilidade local com dinâmica extra.

SVI e volatilidade local: o SVI fornece a superfície implícita. Dupire então fornece a volatilidade local. A cadeia: cotações de mercado -> ajuste SVI -> superfície implícita -> Dupire -> volatilidade local -> precificador de exóticas.

Construindo intuição matemática

Aprenda volatilidade local do zeroLição interativa · aborda a fórmula de Dupire

A lição interativa acima aborda o modelo de volatilidade local de Dupire a partir dos primeiros princípios: por que a volatilidade implícita é uma média ponderada pelo caminho das volatilidades locais, como a fórmula de Dupire extrai a volatilidade local dos preços observados, a relação entre o smile de volatilidade implícita e a superfície de volatilidade local, e por que a volatilidade local importa para a precificação de exóticas dependentes do caminho.

Implementações open source

Repo	Por que examinar
QuantLib	Volatilidade local de Dupire com mecanismo de precificação FD
OpenGamma Strata	Construção de superfície de volatilidade local a partir de dados de mercado
RustQuant	Precificação de volatilidade local em Rust

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Veja também:

• Parametrização SVI - O modelo usado para construir a superfície implícita
• Modelo SABR - Uma alternativa de volatilidade estocástica
• Métodos de Interpolação - Todos os métodos comparados
• Como as Superfícies São Construídas - O pipeline completo