Difusão com saltos de Kou do zero
1/5Os saltos de Merton são simétricos demais
Merton usa saltos lognormais. A distribuição do tamanho dos saltos é uma única curva em sino, centrada em algum ponto. Saltos de alta e de baixa vêm da mesma família. Isso é um problema.
Quedas reais são mais bruscas do que altas. Um depeg de stablecoin não é a imagem espelhada de um short squeeze. O gap de -20% acontece em um único bloco. A alta de +20% leva uma semana. Você precisa de um modelo em que a cauda esquerda e a cauda direita sejam controladas separadamente.
Kou (2002) corrige isso substituindo a distribuição lognormal dos saltos por uma dupla exponencial. Os saltos para cima decaem a uma taxa. Os saltos para baixo decaem a uma taxa diferente. Dois botões separados para duas caudas separadas.
In Merton: ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²).
No Kou: o tamanho do salto Y = ln(J) segue uma dupla exponencial com taxas de decaimento separadas para valores positivos e negativos.
A consequência prática: no Merton, quando você inclina mais a asa esquerda do smile (tornando μJ mais negativo), você também arrasta a asa direita junto. A distribuição normal é simétrica em torno de sua média. O Kou desacopla as asas completamente.
A dupla exponencial
O tamanho do salto Y tem uma densidade composta por duas metades exponenciais emendadas no zero. Cada metade decai à sua própria taxa. Essa é a inovação central.
f(y) = (1−p)·η₂·eη₂y for y < 0 (down-jumps)
η₂ controla o decaimento dos saltos para baixo. Um η₂ pequeno significa que os saltos para baixo podem ser grandes (cauda esquerda gorda). Salto médio para baixo = 1/η₂.
p é a probabilidade de que um dado salto seja para cima.
Deslize os parâmetros abaixo e observe a densidade mudar. O experimento-chave: defina η₁ muito maior que η₂. A cauda direita (saltos para cima) torna-se fina e concentrada perto de zero, enquanto a cauda esquerda (saltos para baixo) se estende para longe. Essa é a forma do risco de crash.
Três experimentos para testar:
1. Defina η₁ = η₂ = 5, p = 0.5. A densidade é simétrica. Ambas as caudas são idênticas. Isso é equivalente, em espírito, ao Merton com salto de média zero.
2. Defina η₁ = 10, η₂ = 2, p = 0.3. Cauda esquerda gorda, cauda direita fina, a maioria dos saltos vai para baixo. Regime clássico de crash.
3. Aumente p em direção a 0.9. A maioria dos saltos vai para cima, mas os saltos para baixo que ocorrem ainda são governados por η₂ independentemente.
Por que saltos assimétricos importam
A razão entre η₁ e η₂ e o parâmetro p juntos controlam o skew do smile de volatilidade implícita. Fundamentalmente, eles controlam cada asa de forma independente.
Considere um token de cripto. Um crash de depeg é acentuado e profundo — isso significa um η₂ pequeno (cauda esquerda gorda). A ação de preço normal para cima é incremental — isso significa um η₁ grande (cauda direita fina). O smile resultante tem uma asa de put íngreme e uma asa de call suave. Exatamente o que você vê no mercado.
No explorador abaixo, observe como alterar η₂ sozinho torna a asa esquerda mais íngreme sem mover a asa direita. Depois tente alterar η₁ — isso torna a asa direita mais íngreme de forma independente. Essa é a vantagem prática de Kou: você ajusta cada asa ao mercado separadamente.
Por que p importa para o skew: se p = 0.3 (a maioria dos saltos é para baixo), a asa esquerda infla porque as puts OTM enxergam um fluxo constante de risco de salto para baixo. A asa direita é mais quieta — menos saltos ocorrem ali.
Por que a razão η importa para o skew: mesmo com p = 0.5 (probabilidade de salto igual), se η₂ for muito menor que η₁, os saltos para baixo são, em média, muito maiores. Isso eleva a asa de put porque o mesmo número de saltos para baixo cobre mais terreno por salto.
Vantagem da forma fechada
A distribuição exponencial tem uma propriedade especial: ela é sem memória. Se você sabe que um salto excede alguma barreira x, o excesso (salto − x) tem exatamente a mesma distribuição de um salto novo. É isso que dá a Kou preços de barreira em forma fechada.
Pense no que uma opção de barreira precisa: você precisa saber a distribuição de onde o preço para depois de cruzar a barreira. Com saltos gaussianos (Merton), a distribuição do excesso é uma bagunça — ela depende de quão longe além da barreira você foi. Com saltos exponenciais, o excesso é sem memória: a distribuição condicional dado que você cruzou a barreira é a mesma que a distribuição incondicional. Isso torna a matemática tratável.
O resultado: Kou (2004) derivou soluções em forma fechada para barreiras knock-in/knock-out, opções lookback e americanas perpétuas. Merton não tem tais fórmulas. Se você precifica exóticas e precisa de gregas analíticas, Kou vence.
O painel esquerdo mostra a densidade exponencial completa com um limiar x marcado. A região sombreada é a probabilidade de exceder x. O painel direito mostra a densidade condicional do excesso (Y − x), given Y > x. Deslize o limiar: a densidade condicional tem sempre o mesmo formato da original. Essa é a propriedade sem memória.
Mova η e note como ambos os painéis se reescalam de forma idêntica. O formato do excesso nunca depende de onde você define o limiar. Para a precificação de barreira, isso significa que a distribuição do excesso na barreira é conhecida analiticamente — sem necessidade de simulação.
Kou vs Merton vs Heston
Cada modelo tem um papel. Entender onde Kou se encaixa em relação a Merton e Heston é a peça final.
Kou: saltos assimétricos, controle independente das asas, exóticas em forma fechada. Melhor para mercados com assimetria de crash pronunciada (cripto, ações individuais) e quando você precisa de preços analíticos de barreira ou lookback.
Merton: mais simples, saltos simétricos. Menos parâmetros. Bom o suficiente quando o smile é aproximadamente simétrico ou quando você só precifica baunilhas. O ponto de partida da indústria para modelos de salto.
Heston: vol estocástica, sem saltos. Gera skew via correlação vol-spot (ρ). Domina em vencimentos longos, onde a vol-of-vol impulsiona a estrutura a termo. Não consegue produzir a inclinação de asa de curto prazo que os saltos criam.
O gráfico acima sobrepõe os smiles de Kou e Merton com a mesma variância total de salto. Ambos os modelos adicionam a mesma quantidade de risco de salto no agregado, mas Kou aloca mais dele para a cauda esquerda. Note como a asa esquerda de Kou é mais gorda (asa de put mais íngreme) enquanto a asa direita é mais fina. Merton divide o risco de forma mais uniforme.
Black-Scholes: smile plano. Sem skew, sem asas.
Merton: smile com asas. A distribuição de saltos simétrica significa que ambas as asas se movem juntas. Bom para vanillas de curto prazo.
Kou: smile com asas independentes. Distribuição de saltos assimétrica. Barreiras e lookbacks em forma fechada. Melhor ajuste para cripto.
Heston: smile a partir de vol estocástica. Persiste em vencimentos longos. Sem saltos, então as asas de curto prazo ficam achatadas demais.
Bates: Heston + saltos de Merton. O cavalo de batalha. Para as aplicações mais exigentes, substitua o componente de saltos de Merton por saltos exponenciais duplos no estilo Kou.
Para onde ir em seguida:
Jump-Diffusion de Merton — o predecessor de saltos simétricos
Variance Gamma — um modelo de saltos puros, sem difusão nenhuma
Modelo de Heston — vol estocástica, sem saltos
Modelo de Bates — Heston + saltos: o cavalo de batalha da indústria