Heston do zero
1/5A variância está viva
O Black-Scholes trata a volatilidade como um número fixo carimbado no contrato. Ele nunca muda. O mundo obviamente não funciona assim. O Heston corrige isso dando à variância sua própria equação diferencial estocástica.
No Black-Scholes, o preço spot segue uma SDE com uma constante σ. Toda opção, todo strike, todo vencimento usa a mesma vol. O modelo é internamente consistente, mas errado: o mercado cota uma σ diferente para cada strike. Isso é o sorriso, e o BS não consegue produzi-lo.
Pense no spot como um carro e na variância como a superfície da estrada. No BS, a estrada é asfalto perfeitamente liso em todo lugar. No Heston, a própria superfície muda -- às vezes cascalho, às vezes gelo, às vezes asfalto novo. O carro reage à superfície em que está. Quanto mais irregular a estrada, mais turbulenta a viagem.
Heston diz: o spot se move como no BS, mas com uma variável √v em vez de constante σ. E a variância segue seu próprio processo de raiz quadrada com reversão à média:
Segunda linha: a variância tem seu próprio drift (puxando em direção a θ) e seu próprio ruído (escalonado por σ).
Terceira linha: os dois movimentos brownianos são correlacionados. Este é o motor por trás do skew.
Aquela segunda equação é um processo CIR (Cox-Ingersoll-Ross) -- o mesmo processo usado para taxas de juros. Ele tem um piso embutido: o √termo de difusão v encolhe conforme v se aproxima de zero, o que impede que a variância fique negativa (sob as condições certas).
O resultado: a vol pode disparar, esmaecer, se agrupar e se mover junto com o spot. Todos esses padrões são visíveis nos mercados reais. O BS não consegue reproduzir nenhum deles. O Heston consegue.
Os cinco parâmetros
O Heston tem exatamente cinco parâmetros livres. Cada um conta uma história diferente sobre o comportamento do mercado. Aprenda a lê-los como um painel de controle.
κ (kappa) -- velocidade de reversão à média. Com que força a variância é puxada de volta ao seu nível de longo prazo. Um κ alto significa que os picos de vol são de curta duração: o processo retorna rapidamente. Um κ baixo significa que os regimes de vol persistem. Em cripto,κ tende a ser baixo -- a vol permanece elevada após um choque.
θ (theta) -- variância de longo prazo. O nível ao qual a variância gravita ao longo do tempo. Se você tomar √θ, você obtém aproximadamente a vol ATM de longo prazo. Para BTC, isso geralmente fica em torno de 50-70% anualizado.
σ (sigma) -- vol-da-vol. Quão errático é o próprio processo de variância. Quando σ = 0, não há sorriso algum -- você volta a um mundo de vol determinística. Conforme σ aumenta, ambas as asas do sorriso se elevam. Pense nisso como: mais aleatoriedade na variância = caudas mais gordas = opções OTM mais caras.
ρ (rho) -- correlação spot-vol. A ligação direcional entre movimentos do spot e movimentos da vol. Um ρ negativo significa spot para baixo, vol para cima. Este é o parâmetro mais importante para o skew. Nós o abordamos em profundidade na próxima seção.
v₀ -- variância inicial. Onde a variância está agora. Se v₀ estiver acima de θ, as opções de curto prazo precificam o estresse atual, enquanto as opções de longo prazo se inclinam de volta ao normal. Após um pico de vol, v₀ >θ e a estrutura a termo inverte.
Arraste os controles deslizantes acima. Foque em um parâmetro de cada vez. O maior insight: ρ inclina o sorriso para a esquerda ou para a direita. σ o alarga. κ/θ/v₀ definem o nível e a estrutura a termo.
Como a correlação cria o skew
Este é o insight matemático central do Heston. Um ρ negativo significa que, quando o spot cai, a variância tende a subir. Essa única relação produz todo o smile inclinado para a esquerda que você vê nos mercados de renda variável e cripto.
Aqui está o mecanismo, passo a passo:
1. O spot cai (dW₁ é negativo).
2. Como ρ < 0, dW₂ tende a ser positivo.
3. dW positivo₂ empurra a variância para cima.
4. Uma variância maior significa que o ativo subjacente está agora mais volátil.
5. Puts OTM (strikes baixos) tornam-se mais propensas a terminar dentro do dinheiro.
6. O mercado as precifica mais alto. A asa esquerda do sorriso sobe.
O inverso também vale: spot para cima, vol para baixo. As opções do lado das calls perdem parte do prêmio de volatilidade. É por isso que a asa direita costuma ser mais plana que a esquerda.
Clique entre os três presets acima. A diferença é dramática:
ρ = −0.7: Forte skew à esquerda. É assim que os mercados de ações e de cripto se comportam. A proteção contra queda é cara porque a vol dispara quando o mercado cai.
ρ = 0: Sorriso simétrico. Nenhuma preferência direcional entre spot e vol. Você obtém uma curvatura pura da vol-of-vol, mas nenhuma inclinação.
ρ = +0.3: Skew à direita. Opções de alta são relativamente caras. Isso é raro na prática, mas pode ocorrer em mercados de commodities, onde choques de oferta elevam tanto o preço quanto a incerteza juntos.
ρ mapeia diretamente para a exposição vanna. Vanna é a sensibilidade do delta a mudanças na vol. Quandoρ é fortemente negativo, puts OTM têm grande vanna positiva: seu delta fica mais negativo à medida que a vol sobe. É por isso que posições vendidas em puts ficam mais perigosas em uma venda em massa -- elas estão short vanna.
A função característica
A maioria dos modelos de vol estocástica exige simulação de Monte Carlo para precificação. O Heston tem um truque: você pode precificar opções via inversão de Fourier de uma função característica conhecida. Sem necessidade de simulação.
A fórmula padrão de preço de opção de compra de Black-Scholes tem a forma C = S·N(d₁) − K·e−rTN(d₂). Heston tem uma estrutura análoga:
O objeto-chave é a função característica φ(u). Ela codifica tudo sobre a distribuição de probabilidade do log-preço spot no vencimento. Pense nela como a impressão digital da distribuição no espaço de frequência.
Por que isso funciona? Três passos:
1. Função geradora de momentos. Como a SDE de Heston é afim (linear nas variáveis de estado), sua função geradora de momentos pode ser resolvida em forma fechada. Esse é o acaso matemático que torna Heston especial.
2. Função característica = MGF no eixo imaginário. A função característica é φ(u) = E[eiu·X] where X = ln(ST). Uma vez que você tem a MGF, você tem φ.
3. Inverta para a densidade, integre para o preço. A inversão de Fourier padrão recupera a densidade neutra ao risco a partir de φ. Integrar essa densidade contra o payoff fornece o preço da opção. A integral é unidimensional e converge em microssegundos.
O resultado: um smile completo calculado em milissegundos, não minutos. Isso torna a calibração viável. Você pode ajustar cinco parâmetros a um smile observado avaliando essa integral milhares de vezes dentro de um otimizador.
Antes de Heston (1993), os modelos de volatilidade estocástica existiam, mas eram impraticáveis -- você tinha que simular trajetórias para precificar uma única opção. A função característica de Heston tornou a volatilidade estocástica utilizável em uma mesa de operações. Todo modelo descendente (Bates, double Heston, rough Bergomi) tenta preservar ou aproximar essa estrutura de precificação de Fourier.
Quando o Heston falha
O Heston é elegante, mas tem limites reais. O processo de variância pode tocar zero, a forma do smile é rígida demais para cripto, e o problema de ajuste dos cinco parâmetros é um campo minado de ótimos locais.
A condição de Feller. Para que a variância permaneça estritamente positiva, você precisa de:
Na prática, os parâmetros de Heston ajustados frequentemente violam a condição de Feller. O mercado quer mais vol-of-vol (σ) do que a condição de Feller permite. Quando violada, o processo de variância pode tocar em zero e precisa ser "refletido" ou "absorvido" -- o que cria dores de cabeça numéricas e torna o modelo menos confiável nas asas.
Aumente σ e veja a condição de Feller ser violada. Os caminhos vermelhos tocam zero. Em um motor de precificação real, esses toques em zero exigem tratamento especial que deixa tudo mais lento e introduz erros sutis.
Os sorrisos de cripto são íngremes demais. Opções de cripto de curto prazo frequentemente têm skews extremamente íngremes e asas largas. O processo de variância CIR de Heston é suave demais para capturar isso. O comportamento das asas do modelo se aproxima de uma inclinação constante, mas as asas reais de cripto são mais íngremes do que isso. É por isso que as mesas de cripto usam SVI ou SSVI para o ajuste da superfície e trate o Heston como uma ferramenta conceitual, não como um motor de ajuste para produção.
O ajuste de cinco parâmetros é instável. Combinações diferentes de parâmetros podem produzir smiles quase idênticos. O otimizador tem múltiplos mínimos locais. Calibrações de um dia para o outro podem saltar entre conjuntos de parâmetros radicalmente diferentes enquanto produzem preços semelhantes. Isso torna o hedge não confiável, porque os Greeks dependem de qual conjunto de parâmetros você acabou obtendo.
Extensões que corrigem esses problemas:
Bates = Heston + saltos. Adicionar um componente de salto ao processo do spot dá asas mais gordas de curto prazo sem precisar de valores irracionais de σ . A intensidade e o tamanho do salto adicionam parâmetros extras, mas a função característica ainda tem uma forma semifechada.
Vol local estocástica (SLV). Combina a variância estocástica no estilo Heston com uma camada de vol local. Você obtém calibração exata à superfície observada (a partir da vol local) mais dinâmicas realistas (a partir do componente estocástico). É isso que muitas mesas de produção realmente utilizam.
Rough Bergomi. Substitui o processo de variância CIR suave por movimento browniano fracionário (parâmetro de Hurst H próximo de 0.1). Os caminhos de variância tornam-se ásperos e irregulares, correspondendo muito melhor ao comportamento observado da vol. O custo: nenhuma função característica em forma fechada.
Para onde ir em seguida:
Parametrização SVI -- o padrão de ajuste de smile para superfícies de volatilidade cripto
Modelo SABR -- vol estocástica sem reversão à média, ajuste mais simples
Rough Bergomi -- vol estocástica fracionária, caminhos rugosos
Métodos de interpolação -- todos os métodos comparados