CEV do zero
1/5Um parâmetro controla toda a espinha dorsal
O CEV é provavelmente o modelo mais simples que produz skew. Um expoente -- β -- decide como o coeficiente de difusão escala com o nível do spot. Esse é todo o truque.
No Black-Scholes, a SDE do spot é dS = σ·S·dW. O termo de ruído é proporcional a S, então a volatilidade percentual é constante. O CEV generaliza isso para:
β = 0: você obtém o modelo de Bachelier / normal. A difusão é σ·dW -- ruído aditivo, sem nenhuma dependência do preço.
0 < β < 1: algo intermediário. A difusão cresce com S, mas de forma menos que proporcional.
Pense em β como um botão em uma mesa de mixagem. Todo à direita (β = 1) você obtém o mundo lognormal -- oscilações percentuais constantes. Todo à esquerda (β = 0) você obtém o mundo normal -- oscilações em dólar constantes. Tudo entre os dois é uma mistura. O modelo não se importa com saltos, regimes ou vol estocástica. Ele apenas pergunta: como o tamanho do choque aleatório depende do nível de preço?
A volatilidade percentual sob o CEV é σ·Sβ−1. Quando β < 1, o expoente é negativo, então a vol percentual sobe conforme S cai. Esse é o efeito de alavancagem, e é todo o motor por trás do skew do CEV. Sem parâmetros extras, sem fontes de ruído extras. Apenas o expoente.
β < 1 significa que a vol sobe quando o spot cai
Esse é o efeito de alavancagem. Nos mercados de ações e cripto, a vol consistentemente sobe quando o spot cai. O CEV com β < 1 captura isso mecanicamente, sem precisar de um segundo fator estocástico.
Se β = 0.5, a função de vol local é σ·√S. Quando S cai de 100 para 50, a vol local não cai proporcionalmente -- ela cai apenas em √(50/100) ≈ 0.71. Mas o spot caiu pela metade. A vol percentual na verdade aumenta.
O efeito é automático e determinístico. Não há parâmetro de correlação para ajustar, nem segundo movimento browniano. A relação preço-vol está embutida no único expoente β.
Isso cria skew negativo na volatilidade implícita sem nenhum parâmetro adicional. Quando o mercado cai, a vol sobe mecanicamente, então as puts OTM se tornam mais valiosas. A asa de put do smile sobe.
O simulador acima mostra isso claramente. Painel esquerdo: trajetórias de preço do CEV. Quando β < 1, as trajetórias que caem ficam visivelmente mais ruidosas -- oscilações mais amplas em níveis mais baixos. Painel direito: vol realizada em janelas plotada contra o nível de preço. A inclinação negativa é o efeito de alavancagem.
Defina β = 1 e o gráfico de dispersão se achata. Não há dependência preço-vol. Esse é o mundo do Black-Scholes.
Defina β > 1 e a relação se inverte: a vol sobe com o preço. Isso é incomum na prática, mas mostra a você toda a amplitude do modelo.
O efeito de alavancagem não é apenas uma curiosidade do modelo. Ele é observável em dados realizados de ações, crédito e cripto. Quando os mercados vendem forte, a vol realizada dispara. O CEV diz que isso não ocorre porque a vol tem seu próprio processo aleatório -- é porque o coeficiente de difusão depende mecanicamente do nível de preço. É a explicação mais barata possível para o skew.
O sorriso de volatilidade implícita do CEV
O CEV produz uma forma específica de vol implícita controlada inteiramente por β. A forma é uma inclinação, não um U. O CEV consegue fazer skew, mas não consegue produzir um smile simétrico.
O mapeamento é direto:
β = 1: Smile plano. Sem skew, sem curvatura. Isso é Black-Scholes.
β < 1: Skew negativo. A asa de put está elevada, a asa de call está rebaixada. Quanto mais β estiver abaixo de 1, mais íngreme o skew.
β > 1: Skew positivo. A asa de call sobe, a asa de put cai. Raro em ações/cripto, mas possível em alguns mercados de commodities.
De forma crítica, o smile do CEV é monotônico. Ele se inclina para um lado ou para o outro, mas não tem formato de U. Não há mecanismo para que ambas as asas subam simultaneamente, porque não há vol-of-vol nem variância estocástica para gerar o enriquecimento simétrico das asas.
O explorador acima mostra ambas as partes: a função de vol local σ·Sβ à esquerda, e o smile de volatilidade implícita resultante à direita. Arraste β e observe-os se moverem juntos. A inclinação da vol local dirige diretamente a inclinação do smile.
Em β = 1, a função de vol local é uma linha reta pela origem (proporcional a S). O smile é plano. À medida que β cai abaixo de 1, a função de vol local se curva para baixo em S alto -- significando que o processo se torna menos volátil a preços mais altos. O smile inclina para a esquerda.
CEV como a espinha dorsal do SABR
SABR’s forward equation is dF = σ·Fβ·dW₁. Esse é literalmente o processo CEV. O SABR apenas acopla uma segunda SDE para o próprio parâmetro de vol.
O sistema SABR completo é:
Segunda linha: σ agora é estocástico. ν (vol-of-vol) controla o quanto σ oscila. Quando ν = 0, σ é uma constante e você volta ao CEV puro.
Terceira linha: os dois Brownianos são correlacionados. ρ adiciona uma inclinação adicional sobre o que β já fornece.
Então o CEV é a fundação determinística do SABR. O expoente β controla o formato do backbone do smile. O SABR então adiciona vol estocástica por cima: ν gera curvatura (enriquecimento das asas), e ρ adiciona uma inclinação direcional extra.
Na prática, mesas de taxas frequentemente fixam β em um valor convencional (0.5 para taxas, às vezes 0 ou 1 dependendo do regime) e então calibram σ, ν, ρ ao smile observado. O backbone é escolhido uma vez; a sobreposição estocástica é ajustada diariamente.
A comparação acima torna isso visual. A curva verde sólida é apenas o CEV -- uma inclinação monotônica. A curva azul tracejada é o SABR com o mesmo β mas ν diferente de zero. O SABR adiciona a curvatura que o CEV não consegue produzir.
Defina ν = 0 no controle deslizante e observe as curvas se sobreporem perfeitamente. Isso confirma a relação: SABR com vol-of-vol zero é exatamente CEV. O backbone é compartilhado.
Quando você calibra o SABR, a escolha de β não é inocente. Ela determina quanto do skew observado é atribuído ao backbone (vol dependente do preço) versus a sobreposição estocástica (inclinação de ρ). Diferentes escolhas de β levam a diferentes ρ se ajusta, o que afeta a dinâmica do forward e, portanto, o comportamento do hedge. Entender o CEV isoladamente ajuda você a entender o que β está realmente fazendo dentro do SABR.
Limites e usos
O CEV é simples demais para ajustar sorrisos reais. Mas é o modelo mental certo para entender como a vol dependente do preço funciona, e ele aparece dentro de toda calibração SABR.
O que o CEV não consegue fazer:
Sem curvatura. Sorrisos reais têm tanto inclinação quanto curvatura -- as asas de put são íngremes, as asas de call são elevadas. O CEV produz uma inclinação monotônica, mas nenhum formato de U. Se você tentar ajustar um sorriso real de cripto apenas com CEV, você errará completamente as asas.
Sem dinâmica de estrutura a termo. O CEV não tem reversão à média, nem agrupamento de vol, nem mudanças de regime. A função de vol local é estática. Sorrisos de curto e longo prazo têm a mesma forma, o que contradiz o comportamento observado da estrutura a termo.
Absorção em zero. Para β < 1, o processo pode atingir zero e ser absorvido. Isso é uma dor de cabeça técnica para a precificação e requer condições de contorno especiais.
Para o que o CEV é bom:
Ensinar o efeito de alavancagem. Se você quer um modelo para explicar por que a vol sobe quando o spot cai, o CEV é ele. Um parâmetro, um mecanismo, intuição limpa.
Seleção da espinha dorsal do SABR. Ao calibrar o SABR, você escolhe β primeiro. Entender o que o CEV faz isoladamente diz o que você está atribuindo ao backbone versus a camada estocástica.
Aproximações rápidas de skew. A expansão da vol implícita do CEV dá a você uma relação analítica entre β e a inclinação do skew. Se alguém cotar um número de skew para você, você consegue deduzir o β implícito de cabeça.
Debate normal vs lognormal. Nos mercados de juros, a escolha entre convenções de cotação normal (β = 0) e lognormal (β = 1) é um debate em curso. O CEV torna isso um espectro contínuo em vez de uma escolha binária.
O CEV diz: o tamanho do choque aleatório depende do nível de preço, e β controla como. Todo o resto -- skew, efeito alavancagem, backbone do SABR -- decorre dessa única ideia.
Para onde ir a seguir:
Modelo SABR -- a extensão de vol estocástica que usa o CEV como sua espinha dorsal
Parametrização SVI -- ajuste direto do sorriso para superfícies de produção
Modelo Heston -- uma abordagem diferente de vol estocástica com variância revertendo à média
Métodos de Interpolação -- todos os métodos comparados