Black-Scholes do zero

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Seção 1

O que é uma opção de compra?

Uma opção de compra é uma escolha: você pode comprar depois a um preço fixo K, ou desistir. Esse único detalhe cria todo o formato do payoff.

Se o ativo terminar abaixo do strike, você ignora a opção. Se terminar acima, você compra pelo preço fixo mais barato e embolsa a diferença.

Spot no vencimento$115

Payoff = max($115 − $100, 0) = $15 — comprar a $100, vender a $115

Arraste o controle. Abaixo de K o payoff é zero — você nunca exerceria. Acima de K o payoff sobe dólar a dólar. Essa dobra em K é a razão inteira de as opções existirem.

Analogia

Pense em pagar uma pequena taxa de reserva num ingresso de show. Se os preços de revenda dispararem, sua reserva é valiosa. Se os preços ficarem baixos, você desiste. O prêmio da opção é essa taxa de reserva.

Seção 2

As cinco entradas

Antes de escrever a fórmula, faça cada símbolo parecer banal. Se os símbolos permanecerem misteriosos, o modelo inteiro permanece misterioso.

Mova cada controle abaixo e observe o preço da call reagir. Toda entrada tem uma direção para a qual empurra. Ganhe intuição antes de nomearmos a fórmula.

SPreço spot$100

Onde o ativo está agora.

KPreço de exercício$100

O preço pelo qual você poderá comprar depois.

TTempo até o vencimento1.00 yr

Por quanto tempo a opção permanece ativa.

rTaxa livre de risco5.0%

O que o dinheiro rende enquanto você espera.

σVolatilidade20%

Quão amplo parece o intervalo de preços futuro.

Preço da call

$11.91

Put: $7.03

d₁ = 0.3500 · d₂ = 0.1500

Resumo em uma frase: O Black-Scholes precifica um direito cujo valor depende de onde o ativo está agora (S), a que preço você pode comprar (K), quanto tempo você tem (T), quão amplo o futuro pode ser (σ) e quanto custa esperar (r).

Seção 3

Duas grandes partes

A maioria das pessoas encontra a fórmula final primeiro. Isso é ao contrário. Aprenda primeiro a história, depois coloque os símbolos por cima.

Percorra as três camadas abaixo. Observe o texto virar matemática.

Ideia

preço da call = potencial de alta como ativo − custo de comprar depois

C = S · N(d₁) − K · e⁻ʳᵀ · N(d₂)

Passe o cursor sobre qualquer parte da fórmula para ver o que ela significa.

A primeira parte é quanto de ganho semelhante ao do ativo você está obtendo. A segunda parte é o que você deveria por isso, descontado para hoje. A diferença é o valor da opção.

N(d₁) e N(d₂) são pesos entre 0 e 1. Eles vêm da distribuição normal. Vamos desmembrá-los em seguida.

Seção 4

O que são d₁ e d₂?

A parte que assusta a maioria. Eles não são místicos. São placares — medindo quão favorável é a configuração da opção, em unidades de uma vida de volatilidade.

N(d) é a área sob a curva em sino à esquerda de d. Arraste o controle e observe como a área sombreada — o peso — muda.

d₁0.35

N(d₁)0.6701

N(d₂)0.5793

d₂ = d₁ − σ√T0.15

Detalhando d₁:

numerador de d₁

ln(S/K) + (r + σ²/2)T

ln(S/K) — estamos acima ou abaixo do strike, em escala logarítmica?
(r + σ²/2)T — correção de drift e volatilidade ao longo da vida da opção.

denominador de d₁

σ√T

Uma vida de opção em volatilidade. Esta é a régua com a qual você mede tudo. O numerador diz quão favorável é a configuração; o denominador expressa isso em unidades de “oscilações”.

d₂

d₂ = d₁ − σ√T

Mesmo placar, menos uma vida inteira de volatilidade. N(d₁) pondera a parte semelhante ao ativo. N(d₂) pondera a parte do pagamento do strike.

Seção 5

Resolva um exemplo completo

Números tornam tudo real. Comece com valores padrão amigáveis, depois mude as entradas e observe cada etapa intermediária ser atualizada.

S

K

T

r

σ

ln(S/K) = ln(100/100) = 0.0000▸

Exatamente no strike — sem vantagem de moneyness embutida.

(r + σ²/2)T = (0.05 + 0.0200) × 1 = 0.0700▸

Drift + correção de volatilidade ao longo da vida da opção.

σ√T = 0.2 × 1.0000 = 0.2000▸

Uma vida de volatilidade — a régua de medição.

d₁ = 0.0700 / 0.2000 = 0.3500▸

A configuração é 0.35 oscilações favorável.

d₂ = 0.3500 − 0.2000 = 0.1500▸

Mesmo valor, menos uma vida de volatilidade.

N(d₁) = 0.6701, N(d₂) = 0.5793

Os dois pesos obtidos da distribuição normal.

C = 100 × 0.6701 − 100 × e^(-0.0500) × 0.5793▸

$67.01 de potencial de ganho menos $55.10 de custo descontado.

C = $11.91

O preço da call pelo modelo Black-Scholes.

Seção 6

Por que este preço e nenhum outro

O Black-Scholes não é um palpite. Sua espinha dorsal é a replicação: se você consegue copiar uma opção usando o ativo e caixa, a opção e a cópia devem custar o mesmo.

Simplifique para um período. O ativo vai para $120 ou $80. A call com K = 100 paga $20 ou $0. Podemos construir uma carteira de ativo e caixa que corresponda exatamente a esses payoffs?

Carteira replicante

120Δ + B = 20Iguale o payoff do estado de alta

80Δ + B = 0Iguale o payoff do estado de baixa

Δ = 0.5, B = −40Meia ação, tomar $40 emprestado

Cost = 0.5 × 100 − 40 = $10A opção também deve custar $10 — ou há arbitragem

A cópia custa $10. A opção também deve custar $10 — caso contrário alguém compra a mais barata, vende a mais cara e ganha lucro sem risco. É por isso que o modelo é disciplinado pela arbitragem, não por achismos.

O Black-Scholes é a versão suave, em tempo contínuo, desse argumento de cópia — aplicado infinitas vezes conforme o preço do ativo muda continuamente.

Seção 7

Escreva de memória

Toque em cada cartão para se testar. Se você conseguir preencher os quatro, domina a fórmula por completo.

Teste rápido de memória — toque para ver as respostas:

Para onde ir a seguir:

Volatilidade implícita — usando o modelo ao contrário, a partir do preço

Referência de Greeks — conectando o preço às sensibilidades de hedge

Paridade put-call — a próxima identidade de precificação para dominar por completo