Replicação estática do zero

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Seção 1

Qualquer payoff é uma soma de payoffs mais simples

Todo diagrama de payoff complexo que você já viu é apenas um portfólio de peças mais simples. Calls, puts, forwards. A forma que você vê é a soma de suas linhas de payoff individuais.

Um butterfly são três calls. Um straddle é uma call mais uma put. Um collar é o ativo subjacente mais uma put menos uma call. Nenhum deles é exótico. São apenas combinações lineares de opções vanilla.

Selecione uma forma de payoff abaixo e clique em Decompor para ver as peças componentes que somam a curva verde. As linhas tracejadas são as pernas individuais. Elas somam a linha verde sólida.

Long 90C + Long 130C + Short 2x110C

Por que isso importa

Se qualquer payoff é uma soma de payoffs mais simples, então precificar qualquer payoff se reduz a precificar as peças. E se você pode negociar as peças, pode replicar qualquer forma que quiser sem precisar de um instrumento sob medida. Essa é a promessa central da replicação estática.

Seção 2

Vanillas como blocos de construção

Um call spread são duas calls. Um butterfly, três. Um iron condor, quatro. Com calls e puts suficientes nos strikes certos, você pode aproximar qualquer payoff linear por partes.

Cada opção vanilla contribui com um “kink” para o payoff combinado. Uma call no strike K dobra o payoff para cima em K. Uma put no strike K o dobra para cima abaixo de K. Cada kink altera a inclinação pela quantidade da opção.

Monte seu próprio portfólio abaixo. Adicione calls e puts em strikes diferentes. Veja o payoff combinado atualizar ao vivo. Tente construir um payoff plano entre 90 e 120, sem nada acima nem abaixo.

CallPutKQtd.

CallPutKQtd.

Princípio-chave

Combined payoff = Σ q_i · payoff_i(S)

Cada perna contribui com sua quantidade vezes seu payoff individual em qualquer preço à vista. A forma combinada é apenas a soma. Essa linearidade é o que torna a replicação possível.

Seção 3

O resultado de Breeden-Litzenberger

A segunda derivada dos preços das calls em relação ao strike fornece a densidade de probabilidade neutra ao risco. O mercado está implicitamente dizendo a você a probabilidade de cada resultado possível.

Breeden e Litzenberger (1978) mostraram que, se você pegar a grade de preços das calls ao longo dos strikes e calcular a curvatura em cada ponto, recupera a função de densidade da distribuição neutra ao risco. Sem necessidade de modelo. Apenas preços e aritmética.

Breeden-Litzenberger

∂²C / ∂K² = e^−rT · f(K)

f(K) é a densidade de probabilidade neutra ao risco no strike K. A segunda derivada da função de preço da call em relação ao strike, escalada pelo fator de desconto, É a densidade. Passe o mouse sobre a grade de preços abaixo para ver a curvatura em cada strike.

Preços de calls ao longo dos strikes (S=100, r=5%)

K=60$40.75

K=64$36.80

K=68$32.86

K=72$28.94

K=76$25.06

K=80$21.29

K=84$17.70

K=88$14.42

K=92$11.61

K=96$9.53

K=100$8.50

K=104$6.24

K=108$4.00

K=112$2.56

K=116$1.62

K=120$1.01

K=124$0.63

K=128$0.38

K=132$0.23

K=136$0.14

K=140$0.08

Vol (σ)30%

Tempo (T)0.25y

A curva verde é a densidade extraída. Seu pico mostra onde o mercado acha mais provável que o ativo subjacente liquide. Sua largura mostra o quão incerto o mercado está. Aumente a volatilidade e veja a densidade achatar e se espalhar.

Isto não é uma estimativa nem a saída de um modelo. É uma extração direta e livre de modelo a partir dos preços de mercado. A única suposição é que os preços das calls sejam duas vezes diferenciáveis no strike, o que é satisfeito por qualquer mercado livre de arbitragem.

Seção 4

Replicando uma binária

Uma call binária paga $1 acima do strike e $0 abaixo. Você pode aproximá-la com um call spread estreito: compre a call em K, venda a call em K+ε, e escale por 1/ε. Conforme a largura do spread tende a zero, a rampa se torna um degrau.

Este é o vínculo fundamental entre vanillas e binárias. Uma binária é o limite de um call spread quando a largura do spread encolhe. Equivalentemente, a binária é o negativo da derivada do preço da call em relação ao strike: D(K) = −∂C/∂K.

Arraste o controle deslizante para estreitar o spread. Veja a rampa azul convergir para a função degrau verde.

Binária (alvo)Call spread (1/ε) × [C(K) - C(K+ε)]

Largura do spread (ε)10.0

Spread largo. A rampa é uma aproximação ruim da binária.Erro máx.: 100.0% do valor de face

Do call spread à binária

D(K) = lim_ε→0 (1/ε) · [C(K) − C(K+ε)]

O payoff do call spread é uma rampa de altura 1/ε sobre uma largura de ε. Conforme ε encolhe, a rampa se torna mais íngreme até virar uma função degrau. No limite, é exatamente a binária. É por isso que os market makers fazem hedge de binárias com spreads vanilla estreitos — delta limitado, sem pico de Dirac.

Seção 5

Replicando payoffs arbitrários

Carr e Madan (1998) provaram que qualquer payoff europeu duas vezes diferenciável pode ser decomposto em três peças: uma posição em forward, uma faixa de puts fora do dinheiro (OTM) abaixo do forward e uma faixa de calls fora do dinheiro (OTM) acima do forward.

Esta é a fórmula de Carr-Madan. Ela diz que a curvatura do seu payoff-alvo — a segunda derivada f″(K) — determina quanto de cada opção OTM você precisa. A parte linear do payoff é capturada pelo forward. A curvatura é capturada pelas faixas de opções.

Selecione um payoff abaixo e clique em Mostrar decomposição de Carr-Madan para ver as três peças. A linha amarela é o componente forward. A região vermelha é a faixa de puts OTM. A região azul é a faixa de calls OTM. Juntas, elas somam o alvo verde.

Note a linha divisória em F (o preço do forward). Abaixo de F, apenas as puts contribuem. Acima de F, apenas as calls. Isso não é arbitrário — usar opções OTM minimiza o custo da replicação, porque opções OTM são mais baratas que opções ITM para o mesmo conteúdo de informação.

Implicação prática

A decomposição de Carr-Madan é a base teórica dos swaps de variância, do cálculo do VIX e das estratégias de replicação de portfólio. A fórmula do VIX é literalmente uma aproximação discreta dessa integral. Sempre que você vir uma “faixa de opções”, esta é a matemática por trás.

Para onde ir agora:

Opções Binárias — o bloco de construção das escadas de replicação

Hedge de Delta — a alternativa dinâmica à replicação estática

Volatilidade Implícita — extraindo as expectativas do mercado a partir dos preços