Bates do zero
1/5Heston + saltos = Bates
Heston explica o smile de longo prazo: a variância estocástica cria skew suave e estrutura a termo. Merton explica o smile de curto prazo: saltos no processo de preço criam asas íngremes em vencimentos curtos. Bates combina os dois em um único modelo.
O problema central é simples. Heston se move continuamente -- o preço à vista nunca se teletransporta. Isso significa que Heston sozinho não consegue explicar por que uma put de 25 delta de 1 semana pode negociar a 80% de vol enquanto a versão de 1 ano negocia a 55%. A inclinação das asas de curto prazo exige algo que a difusão contínua não pode entregar: gaps instantâneos.
Merton (1976) resolveu o problema dos gaps adicionando um processo de saltos de Poisson ao movimento browniano geométrico. Mas Merton não tem variância estocástica, então não consegue reproduzir a dinâmica da estrutura a termo. Ele precifica bem um vencimento e depois falha ao longo da curva.
Bates (1996) uniu os dois. O resultado é o modelo padrão para mesas de exóticos que precisam tanto de dinâmica realista quanto de precificação tratável.
Segunda linha: a variância segue o mesmo processo CIR que Heston. Nada muda aqui.
Terceira linha: a mesma estrutura de correlação. ρainda comanda o skew suave.
Pense em um carro em uma estrada esburacada (Heston: a qualidade do asfalto muda de forma estocástica). Agora adicione buracos que aparecem aleatoriamente (saltos de Merton: o carro despenca de repente). Você precisa de suspensão para as irregularidades e airbags para os buracos. Bates te dá os dois.
O insight matemático chave: como o componente de saltos é independente do processo de variância, a função característica de Bates é simplesmente a função característica de Heston multiplicada pelo fator de salto de Merton. Isso significa que a precificação permanece semianalítica -- a inversão de Fourier continua funcionando. Não é preciso Monte Carlo para vanillas.
O que fazem os parâmetros extras
Bates herda os cinco parâmetros de Heston (κ, θ,σ, ρ, v₀) e adiciona três parâmetros de salto:λ (frequência de saltos), μⱼ (tamanho médio do salto) e σⱼ (volatilidade do salto). Oito botões no total.
λ (lambda) -- intensidade dos saltos. Número esperado de saltos por ano. λ = 0 recupera o Heston puro. λ = 2 significa aproximadamente dois saltos por ano em média. Um λ mais alto faz as asas subirem ainda mais porque o mercado precifica mais eventos de gap nas opções.
μⱼ (mu-J) -- tamanho médio do salto. O log-retorno médio de um salto. Um μⱼ negativo significa que os saltos têm viés para baixo (saltos de crash). Isso cria assimetria: a asa da put fica mais íngreme que a asa da call. Em cripto,μⱼ está tipicamente entre −0.05 and−0.15, refletindo cascatas de liquidação e flash crashes.
σⱼ (sigma-J) -- volatilidade do salto. O desvio padrão dos tamanhos dos saltos. Mesmo que o salto médio seja zero, um σⱼ diferente de zero cria elevação simétrica das asas. Isso é curtose em excesso pura vinda de saltos de tamanho aleatório. Umσⱼ maior significa caudas mais gordas.
Ative e desative os saltos acima. Quando os saltos estão desativados, você vê o Heston puro (azul tracejado). Ative-os e as asas se elevam -- especialmente a asa esquerda, porque μⱼ < 0 enviesa os saltos para baixo. Aumente λ para 3 ou 4 e o efeito é dramático. Defina μⱼ = 0 e note que a elevação se torna simétrica.
O insight crucial: ρ (Heston) e μⱼ(saltos) ambos criam skew, mas por meio de mecanismos completamente diferentes.ρ cria skew via correlação spot-vol, que se acumula gradualmente ao longo do tempo. μⱼ cria skew via saltos direcionais, que aparecem instantaneamente. É por isso que o Bates consegue ajustar tanto o curto prazo quanto o longo prazo simultaneamente.
Decomposição da estrutura a termo
O smile de curto prazo é majoritariamente saltos. O smile de longo prazo é majoritariamente vol estocástica. Essa separação é a razão de existir do Bates -- nenhum componente sozinho ajusta a estrutura a termo completa.
O mecanismo é o escalonamento da variância. A variância difusiva se acumula proporcionalmente a T: ao longo de um ano, o componente difusivo tem tempo de se acumular. A variância de saltos também escala com T (λ · T saltos esperados), mas cada salto individual tem o mesmo tamanho independentemente do horizonte.
Em T = 7 dias, você mal teve tempo para a variância difusiva se acumular, mas um único salto ainda pode atingi-lo em tamanho pleno. Um −crash de 10% em uma semana tem o mesmo impacto no payoff que um−crash de 10% em um ano -- mas o crash representa uma fração muito maior do movimento total esperado ao longo de 7 dias do que ao longo de 365 dias.
Em T = 1 ano, a vol estocástica teve tempo de explorar a distribuição completa das trajetórias de variância. Reversão à média, clusterização de vol e correlação spot-vol se manifestam plenamente. O componente de saltos ainda está lá, mas representa uma fração menor da variância total.
Olhe os quatro gráficos acima. Em T = 7d, a região vermelha (contribuição dos saltos) domina as asas. Em T = 1y, é uma faixa fina. Aumente λ e observe o ponto de cruzamento se deslocar -- saltos mais frequentes empurram a contribuição dos saltos mais para fora na curva.
Essa decomposição tem implicações diretas para o trading. Se você acha que o risco de salto está mal precificado, negocia a ponta curta. Se acha que a dinâmica da variância está mal precificada, negocia a ponta longa. Bates te dá um framework para separar essas apostas.
Calibrando o Bates
Oito parâmetros é muita coisa. Combinações diferentes podem produzir smiles parecidos, e o otimizador pode se perder em território instável. A calibração na prática exige disciplina.
A abordagem padrão é uma estratégia em dois estágios:
Estágio 1: fixe o que você pode observar. v₀ é fixado a partir da variância implícita ATM atual. A taxa de drift r é conhecida. Isso deixa sete parâmetros livres.
Estágio 2: calibre em grupos. Primeiro ajuste κ, θ, σ, ρ ao smile de longo prazo (onde os saltos contribuem pouco). Depois ajusteλ, μⱼ, σⱼ aos resíduos de curto prazo. Itere algumas vezes para refinar.
Essa abordagem funciona porque os dois grupos de parâmetros controlam partes diferentes da superfície. Os parâmetros de Heston moldam a ponta longa; os parâmetros de salto moldam a ponta curta. Ajustá-los sequencialmente reduz a dimensionalidade de cada etapa de otimização.
A armadilha do overfitting. Mais parâmetros sempre melhoram o ajuste dentro da amostra. Mas se você deixar todos os oito flutuarem livremente, você corre o risco de ajustar ruído. O sinal revelador: parâmetros que mudam drasticamente de um dia para o outro enquanto produzem smiles semelhantes. Se λ oscila entre 0,5 e 3,0 em calibrações consecutivas, seu ajuste está instável.
O gráfico acima mostra uma comparação realista. Heston (laranja, 5 parâmetros) ajusta bem a região ATM, mas erra sistematicamente as puts bem fora do dinheiro (OTM). Bates (verde, 8 parâmetros) acerta as asas porque o componente de saltos captura o skew íngreme de curto prazo que Heston não alcança.
Observe o gráfico de resíduos abaixo do gráfico principal. Os resíduos de Heston são grandes e sistemáticos nas asas -- o modelo é enviesado, não apenas ruidoso. Os resíduos de Bates são menores e mais aleatórios. Essa é a assinatura de uma melhoria genuína, não apenas overfitting.
Regra prática: se adicionar 3 parâmetros reduz o SSE em mais de 50%, a complexidade extra está valendo a pena. Se a redução for de apenas 10-20%, talvez seja melhor ficar com Heston e aceitar o erro nas asas.
O cavalo de batalha do cripto
Bates é o modelo padrão para mesas de exóticos em cripto porque os mercados cripto exibem tanto volatilidade estocástica quanto saltos frequentes. Cascatas de liquidação, depegs e quedas de exchanges criam risco real de gap que Heston sozinho não consegue precificar.
Superfícies de volatilidade em cripto têm características distintivas que o Bates trata bem:
Regimes de vol persistentes. O BTC pode ficar em 30% de IV por semanas e então saltar para 80% em uma única cascata de liquidações. Um baixoκ (reversão à média lenta) combinado com um alto v₀captura o ambiente pós-choque. Este é o componente Heston fazendo seu trabalho.
Movimentos de gap frequentes. Um crash intradiário de 10% é incomum em ações, mas acontece várias vezes por ano em cripto. Esses são saltos genuínos, não apenas grandes movimentos difusivos. Eles aparecem como asas de put de curto prazo extremamente íngremes que nenhuma quantidade deσ (vol-of-vol) consegue igualar. O componente de saltos lida com isso.
Ambas as direções. Diferente dos mercados de ações onde os saltos são quase sempre de queda, cripto também tem risco significativo de gap de alta (short squeezes, aprovações surpresa de ETF, listagens em exchanges). Definirμⱼ mais próximo de zero (ou até ligeiramente positivo para algumas moedas) permite que o modelo capture o risco de gap simétrico.
A decomposição de variância acima mostra como a variância ATM total se divide entre os componentes difusivo e de saltos. Para parâmetros típicos de cripto, os saltos podem responder por 20-40% da variância total. Isso não é um termo de correção -- é um efeito de primeira ordem.
Além do Bates: SLV. O Bates ajusta a superfície observada melhor que o Heston, mas ainda não consegue ajustar exatamente cada strike e vencimento. Para precificação de exóticas em produção, a maioria das mesas sobrepõe uma camada de volatilidade local por cima, criando um modelo de volatilidade estocástica-local (SLV). O Bates fornece o motor de dinâmica; a volatilidade local fornece a calibração exata. Veja a referência de SLV para detalhes.
Quando Bates é exagero: se você só precisa interpolar um único smile para um único vencimento, use SVI. Se você precisa de uma superfície completa sem dinâmica, SSVI é mais rápido e mais estável. O Bates justifica sua complexidade quando você precisa da dinâmica do ativo subjacente -- para precificação de exóticas, hedge de produtos dependentes de trajetória ou decomposição do smile em componentes econômicos.
Black-Scholes: sem smile. Uma vol não ajusta nada.
Heston: dinâmica suave do smile. Cuida da ponta longa.
Bates: suave + com saltos. Cuida das duas pontas.
SLV: calibração exata + dinâmica. O padrão de produção.
Cada passo adiciona complexidade e custo de calibração. A arte está em saber quando a maquinaria extra vale o custo para o seu caso de uso específico.
Para onde ir agora:
Heston do Zero -- mergulho profundo nos cinco parâmetros de Heston
Parametrização SVI -- o padrão de ajuste de smile para superfícies de volatilidade em cripto
SSVI -- parametrização de superfície completa livre de arbitragem
Métodos de Interpolação -- comparação de todos os métodos