Bachelier do zero
1/5Dólares, não porcentagens
Black-Scholes diz "um movimento de 10%". Bachelier diz "um movimento de $10". Essa é toda a diferença filosófica entre os dois modelos mais antigos de precificação de opções.
Louis Bachelier publicou seu modelo em 1900 -- 73 anos antes de Black e Scholes. Sua ideia era extremamente simples: as variações de preço são aditivas e normalmente distribuídas. O modelo é uma única equação:
Se a vol normal é $20, o modelo prevê que o preço pode se mover cerca de $20 em um ano. Não importa se o preço começa em $40 ou $400, a oscilação tem o mesmo tamanho em termos de dólares. É isso que "aditivo" significa -- o ruído não escala com o nível de preço.
Compare isso com Black-Scholes, onde o ruído é multiplicativo: dS = S·σ·dW. A mesma vol de 30% produz um movimento de $30 em uma ação de $100, mas um movimento de $150 em uma ação de $500. A régua se estica.
Arraste o controle de preço. A régua de Bachelier mantém suas marcações em intervalos fixos de dólares. A régua BS estica ou encolhe porque cada marca é uma porcentagem fixa do preço atual.
O modelo aditivo pode produzir preços negativos. Isso é um bug se você está precificando opções sobre ações. Mas é uma vantagem para taxas de juros (que ficaram negativas em EUR, JPY, CHF) e para spreads (que naturalmente têm sinal). Bachelier estava 73 anos à frente de seu tempo -- seu "defeito" virou o padrão da indústria para opções de taxas.
A fórmula é mais simples do que você imagina
O preço da call de Bachelier tem menos peças móveis do que Black-Scholes. Sem logaritmos. Sem drama de fator de desconto. Apenas uma subtração, uma razão e duas consultas à distribuição normal.
Divida a fórmula em duas partes e fica fácil de lembrar:
Piece 1: (S − K)·Φ(d) -- o payoff intrínseco, ponderado pela probabilidade. Se a call terminar dentro do dinheiro, você recebe S − K. Φ(d) é a probabilidade de isso acontecer.
Piece 2: σn√T·φ(d) -- o colchão de valor temporal. Mesmo que o spot esteja próximo do strike, a incerteza dá à opção uma chance. Mais vol ou mais tempo aumenta esse termo.
Compare com Black-Scholes: C = S·Φ(d₁) − K·e−rT·Φ(d₂). BS usa ln(S/K) onde Bachelier usa S−K. Esse log é toda a diferença. Perto do ATM, eles concordam.
Afaste o strike do preço à vista e observe os dois preços divergirem. Perto do ATM, eles são quase idênticos porque as aproximações linear e logarítmica concordam localmente. Bem fora do dinheiro (OTM), os modelos discordam porque Bachelier permite preços negativos e o BS não.
Vol normal vs vol BS
A conversão entre os dois é simples perto do ATM: σn ≈ S · σBS. Um smile normal plano vira um smile BS com skew porque o mesmo movimento em dólares é uma porcentagem diferente em cada strike.
Se o preço à vista é $100 e a vol BS é 30%, a vol normal é aproximadamente $30. Se o preço à vista cai para $50, os mesmos $30 de vol normal viram 60% em termos de BS. Nada mudou no mundo de Bachelier -- mas a vol BS dobrou.
É por isso que um smile de Bachelier perfeitamente plano (uma vol normal para todos os strikes) produz um smile BS com skew. Para strikes baixos, o mesmo movimento em dólares representa uma porcentagem maior. Para strikes altos, representa uma porcentagem menor. A curva de volatilidade implícita BS inclina-se para baixo da esquerda para a direita.
O interativo abaixo mostra as duas visões do mesmo mercado. Bachelier diz uma vol. BS diz uma curva. Nenhum está errado -- são sistemas de coordenadas diferentes para o mesmo conjunto de preços de opções.
Quando Bachelier é o modelo certo
Bachelier é o padrão da indústria para opções de taxas, opções de spread e qualquer produto em que o ativo subjacente pode ficar negativo. Não é o padrão certo para cripto à vista -- mas é perfeito para produtos de basis e taxa de financiamento.
Taxas de juros: Quando o BCE levou as taxas para o negativo em 2014, o Black-Scholes quebrou. Não dá para tirar o log de um número negativo. Mesas de taxas do mundo inteiro migraram da cotação lognormal para a normal da noite para o dia. A vol de swaptions agora é cotada em pontos-base de vol normal, não em porcentagem de vol lognormal.
Spreads: A diferença entre dois preços é naturalmente aditiva. Um calendar spread, um trade de basis ou um spread entre moedas pode ser positivo ou negativo. Bachelier lida com isso sem gambiarras.
Produtos de financiamento: As taxas de financiamento em cripto oscilam em torno de zero e podem ficar negativas. Se você está precificando opções sobre taxas de financiamento, Bachelier é a linguagem natural.
Cripto à vista: Os preços são positivos e exibem efeitos de alavancagem (a vol sobe quando o preço cai). O arcabouço lognormal é mais natural aqui. Use BS para o mercado à vista, Bachelier para taxas e spreads.
O painel esquerdo mostra trajetórias de Bachelier: ruído aditivo, simétricas, e algumas cruzam o zero. O painel direito mostra trajetórias BS: ruído multiplicativo, sempre positivas, e a distribuição tem uma longa cauda à direita. Adicione trajetórias e observe quantas trajetórias de Bachelier ficam negativas -- esse é o "bug" que na verdade é uma vantagem para taxas.
O problema do skew falso
Se você cotar um mercado de Bachelier em termos de Black-Scholes, verá um skew que não existe. O "skew" é apenas uma transformação de coordenadas. Esta é a lição mais importante desta página.
Imagine um market maker que precifica opções com uma vol normal plana. Todo strike recebe $20 de vol normal. Sem skew. Sem smile. Um único número.
Agora um trader converte esses preços para volatilidade implícita BS usando um solver de IV padrão. As opções de strike baixo mostram vol BS mais alta. As opções de strike alto mostram vol BS mais baixa. O trader vê skew de puts e acha que o mercado está precificando risco de crash.
Mas não há risco de crash nesse mercado. O skew é um artefato de forçar um mundo normal através de uma lente lognormal. Um movimento de $20 em um ativo subjacente de $80 é 25% em termos de BS. O mesmo movimento de $20 em um ativo subjacente de $120 é apenas 16.7%. Porcentagens diferentes, mesmo movimento em dólares.
Isso importa na prática porque:
Você pode diagnosticar o skew errado. Se uma mesa de taxas cota em vol normal e você converte para BS, verá um skew que é 100% um artefato. Não opere esse skew.
A conexão com o SABR. O parâmetro beta do SABR controla onde você está no espectro de Bachelier a BS. Beta = 0 é Bachelier puro (normal). Beta = 1 é BS puro (lognormal). A maior parte do "skew" que você vê com beta = 0 em termos de BS é o mesmo artefato de coordenadas.
A regra de ouro: Antes de operar um skew, pergunte se ele é uma característica do mercado ou do modelo. O que é plano em um sistema de coordenadas pode parecer ter skew em outro.
Próximos passos:
Black-Scholes -- a contraparte lognormal
Modelo SABR -- usa o beta para escolher o ponto no espectro normal-lognormal
Modelo CEV -- conecta o normal e o lognormal via o parâmetro beta
Skew -- separando artefatos do modelo de características do mercado